Dlaczego naturalne zmiany dziennika są zmianami procentowymi? Co takiego sprawia, że ​​logi?

43

Czy ktoś może wyjaśnić, w jaki sposób sprawiają to logi, aby można było wykonać logiczne regresje, w których współczynniki są interpretowane jako zmiany procentowe?

thewhitetie
źródło
9
log(yt)log(yt1)=log(yt/yt1) , a wynosi 1 plus zmiana procentowa. yt/yt1
Zróżnicowanie równania w stosunku do X1 wydaje mi się, że stawia nas na dobrej drodze do odpowiedzi na pytanie lepiej niż przy rozważaniu wyrażeń szeregowych.
Charles

Odpowiedzi:

45

Dla i blisko siebie zmiana procentowa przybliża różnicę .x2x1x2x1x1logx2logx1

Dlaczego zmiana procentowa przybliża różnicę w dzienniku?

Pomysł z rachunku polega na tym, że można aproksymować gładką funkcję za pomocą linii. Przybliżenie liniowe to po prostu pierwsze dwa terminy z serii Taylora . Rozwinięcie Taylora pierwszego rzędu w wokół daje:log(x)x=1

log(x)log(1)+ddxlog(x)|x=1(x1)
Prawa strona upraszcza się do stąd: 0+11(x1)
log(x)x1

Zatem dla w sąsiedztwie 1 możemy przybliżać za pomocą linii Poniżej znajduje się wykres i .xlog(x)y=x1y=log(x)y=x1

Przykład: .log(1.02)=.01981.021

Rozważmy teraz dwie zmienne i takie, żex2x1x2x11x2x11=x2x1x1

logx2logx1=log(x2x1)x2x11

Zmiana procentowa jest liniowym przybliżeniem różnicy logarytmicznej!

Po co rejestrować różnice?

Często, gdy myślisz o złożeniu zmian procentowych, matematycznie czystszą koncepcją jest myślenie w kategoriach różnic logarytmicznych. W przypadku wielokrotnego mnożenia terminów często wygodniej jest pracować w dziennikach i zamiast tego dodawać terminy razem.

T

WT=t=1T(1+Rt)
logWT=t=1Trt
rt=log(1+Rt)=logWtlogWt1

Gdzie są zmiany procentowe, a różnica logów NIE jest taka sama?

y=log(x)y=x1x=1

log(1.6)log(1)=.471.61

Jaka jest różnica logów w tym przypadku?

Jednym ze sposobów myślenia o tym jest to, że różnica w logach wynosząca 0,47 odpowiada kumulacji 47 różnych różnic logarytmicznych 0,01, co stanowi około 47 1% zmian, wszystkie razem wzięte.

log(1.6)log(1)=47(.01)47(log(1.01))

1.61.0147

Różnica logarytmiczna wynosząca 0,47 jest w przybliżeniu równoważna 47 różnym 1% wzrostom złożonym, lub nawet lepiej, 470 innym. 1% wzrostom wszystkim złożonym itp.

Kilka odpowiedzi tutaj uściśla ten pomysł.

Matthew Gunn
źródło
+1, w nadziei, że planowana kontynuacja tej odpowiedzi omówi warunki, w których zbliża się załamanie.
whuber
4
+1. Aby dodać drobny punkt, 1,6 do 1 oznacza spadek o 37,5%, 1 do 1,6 oznacza wzrost o 60%, różnica logarytmiczna 0,47 jest niezależna od kierunku zmiany i zawsze wynosi od 0,375 do 0,6. Gdy nie wiemy lub nie dbamy o kierunek zmiany, różnica logów może być alternatywą dla uśrednienia dwóch procentowych zmian, nawet gdy zmiana procentowa jest duża.
Paul
9

Oto wersja dla manekinów ...

Y=βo+β1X+ε1-unitX=x1β^1YY=y1β^1(x1+1)β^1x1=β^1

ln(Y)=δo+δ1X+εδ^1

(*)ln(y2)ln(y1)=ln(y2y1)=δ^1(x1+1)δ^1x1=δ^1

()

(**)exp(δ^1)=y2y1=y1+y2y1y1=1+y2y1y1

y2y1y1()100y2y1y1=100(exp(δ^1)1)

exp(δ^1)1=δ^1δ^1ex

ex=1+x+x22!+x33!+

δ1x

exp(δ^1)=1+δ^1

δ^1=exp(δ^1)1

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Antoni Parellada
źródło
twoja odpowiedź jest dość jasna: potrzebujemy małych współczynników, aby móc zinterpretować różnicę logarytmiczną jako zmianę procentową, ale odpowiedź @aksakal pokazuje, że potrzebujemy tylko małych zmian (tj lim Δx --> 0.). Czy możesz wyjaśnić, w jaki sposób oba są równoważne?
towi_parallelism
7

lny=A+Bx
ddxlny1ydydx=B

by

dyy=Bdx

y

dy=Bdx

dx,dyΔx,Δy

Aksakal
źródło
4

r n

I(n)=(1+rn)n.

n

I()=limn(1+rn)n=exp(r).

Przyjmowanie logarytmów obu stron daje , co oznacza, że ​​logarytmem stosunku inwestycji końcowej do inwestycji początkowej jest stale rosnąca stopa procentowa. Na podstawie tego wyniku widzimy, że logarytmiczne różnice w wynikach szeregów czasowych można interpretować jako ciągłe zwiększanie szybkości zmian . (Ta interpretacja jest również uzasadniona odpowiedzią aksakal , ale obecne dzieło daje ci inny sposób na jej spojrzenie.)r=lnI()


Przywróć Monikę
źródło