Dlaczego prawo dużych liczb nie ma zastosowania w przypadku ceny akcji Apple?

39

Oto artykuł z czasów nowojorskich zatytułowany „Apple konfrontuje prawo wielkich liczb” . Stara się wyjaśnić wzrost cen akcji Apple za pomocą prawa wielkich liczb. Jakie błędy statystyczne (lub matematyczne) popełnia ten artykuł?

mpiktas
źródło
5
Znalazłem ten artykuł na blogu @Epigrad: confounding.net/2012/03/12/… .
mpiktas
2
(+1) Dziękujemy za zwrócenie uwagi na ten artykuł tutaj.
kardynał
1
Moja druga najbardziej pozytywna odpowiedź pochodzi z pytania o artykuł w NYTimes. Chciałem też wiedzieć, jak inni ludzie odpowiedzą na to pytanie. Mam odpowiedź z nieco innej perspektywy niż Epigrad i zastanawiałem się, czy ktoś mógłby to opublikować.
mpiktas

Odpowiedzi:

31

Oto otarcie: Apple jest tak duże, że działa wbrew prawu wielkich liczb.

Znane również jako złote twierdzenie, z dowodem przypisanym XVII-wiecznemu szwajcarskiemu matematykowi Jacobowi Bernoulli, prawo stanowi, że zmienna powróci do średniej po dużej próbce wyników. W przypadku największych firm sugeruje to, że wysoki wzrost zysków i szybki wzrost cen akcji spowolnią, gdy te firmy będą rosły jeszcze bardziej.

Ta mętna zbieranina faktycznie odnosi się do trzech różnych zjawisk!

  1. (Różne) prawa wielkich liczb mają fundamentalne znaczenie w teorii prawdopodobieństwa do charakteryzowania sytuacji, w których uzasadnione jest oczekiwanie, że duże próbki dostarczą coraz lepszych informacji o próbkach lub populacji, z której pobierane są próbki. Rzeczywiście, Jacob Bernoulli jako pierwszy uznał potrzebę sformułowania i udowodnienia takiego twierdzenia, które pojawiło się w jego pośmiertnym Ars Conjectandi w 1713 r. (Pod redakcją siostrzeńca Nicholasa Bernoulli).

    Nie ma widocznego uzasadnionego zastosowania takiego prawa do wzrostu Apple.

  2. Regres w kierunku średniej został po raz pierwszy rozpoznany przez Francisa Galtona w latach osiemdziesiątych XIX wieku. Jednak często jest niedoceniany przez analityków biznesowych. Na przykład, na początku 1933 roku (w głąb Wielkiego Kryzysu), Horacy Secrista opublikował swoje opus magnum, z Triumph miernoty w biznesie. W nim obficie zbadał szeregi czasowe biznesowe i znalazł, w każdym przypadku, dowód regresji w kierunku średniej. Ale nie uznając tego za nieuniknioną matematykęutrzymywał, że odkrył podstawową prawdę dotyczącą rozwoju biznesu! Ta pomyłka polegająca na pomyleniu czysto matematycznego wzoru z wynikiem pewnej siły lub tendencji leżącej u jej podstaw (obecnie zwana często „błędem regresyjnym”) przypomina cytowany fragment.

    (Warto zauważyć, że Secrist był wybitnym statystykiem, autorem jednego z najpopularniejszych podręczników statystycznych opublikowanych w tym czasie. Na JSTOR można znaleźć szarpiącą recenzję Triumph ... autorstwa Harolda Hotellinga opublikowaną w JASA pod koniec 1933 roku. W Hotelling napisał o kolejnej wymianie listów z Secristem

    Moja recenzja ... była głównie poświęcona ostrzeżeniu czytelników, aby nie stwierdzili, że firmy mają skłonność do mierności ... Aby „udowodnić” taki matematyczny wynik kosztownym i długotrwałym badaniem numerycznym ... jest analogiczne do udowodnienia mnożenia stół, układając słonie w rzędach i kolumnach, a następnie robiąc to samo dla wielu innych gatunków zwierząt. Przedstawienie, choć być może zabawne i mające pewną wartość pedagogiczną, nie stanowi istotnego wkładu ani w zoologię, ani w matematykę.

    [JASA Vol. 29, nr 186 (czerwiec 1934), s. 198 i 199].)

    NY Times przejście wydaje się mieć ten sam błąd z danymi handlowymi Apple.

  3. Jeśli jednak czytamy dalej w artykule, wkrótce odkrywamy zamierzone przez autora znaczenie:

    Jeżeli cena akcji Apple wzrosły nawet o 20 procent rok do następnej dekady, czyli znacznie poniżej jego obecnej pęcherzy tempie, jego $ 500 mld kapitalizacja rynkowa byłaby bardziej niż $ 3 bilionów 2022.

    Jest to oczywiście stwierdzenie o ekstrapolacji wzrostu wykładniczego. Jako taki zawiera echo prognoz maltuzjańskich populacji . Zagrożenia związane z ekstrapolacją nie ograniczają się jednak do wzrostu wykładniczego. Mark Twain (Samuel Clements) pręgowany bezmyślnych ekstrapolatorów w Life on the Mississippi (1883, rozdział 17):

    Teraz, gdybym chciał być jednym z tych poważnych naukowców i „pozwolić” na udowodnienie ... co wydarzy się w dalekiej przyszłości przez to, co wydarzyło się w ostatnich latach, jaka jest szansa! ... Proszę przestrzegać: -

    W ciągu stu siedemdziesięciu sześciu lat Dolna Missisipi skróciła się o dwieście czterdzieści dwie mile. To średnio drobiazg ponad jedną milę i jedną trzecią rocznie. Dlatego każda spokojna osoba, która nie jest ślepa ani idiotyczna, może zobaczyć, że w „Starym Oolitycznym okresie syluru”, zaledwie milion lat temu, w listopadzie, dolna rzeka Missisipi miała ponad milion trzysta tysięcy mil długości i utknęła nad Zatoką Meksykańską jak wędka. I z tego samego powodu każdy może zobaczyć, że za siedemset czterdzieści dwa lata Dolna Missisipi będzie miała tylko milę i trzy czwarte długości, a Kair i Nowy Orlean połączą się razem na swoich ulicach i będą podążać wygodnie pod jeden burmistrz i wspólna rada radna. W nauce jest coś fascynującego.Można uzyskać takie hurtowe zwroty przypuszczeń z tak drobnej inwestycji faktów.

    (Podkreślenie dodane). Satyra Twaina wypada korzystnie w porównaniu z cytatem tego artykułu analityka biznesowego Roberta Cihry:

    Jeśli ekstrapolujesz wystarczająco daleko w przyszłość, aby utrzymać ten wzrost, Apple musiałby sprzedać iPhone'a każdemu mężczyźnie, kobiecie, dziecku, zwierzęciu i kamieniowi na naszej planecie.

    (Niestety, wydaje się, że Cihra nie słucha własnej rady: ocenia tę akcję jako „kup”. Może mieć rację, nie na podstawie zasług, ale na podstawie większej teorii głupców .)

Jeśli uznamy, że ten artykuł oznacza „strzeż się ekstrapolacji poprzedniego wzrostu w przyszłości”, wiele z tego wyciągniemy. Inwestorzy, którzy uważają tę firmę za dobry zakup, ponieważ jej współczynnik PE jest niski (w tym kilku godnych uwagi zarządzających pieniędzmi cytowanych w artykule), nie są lepsi od „poważnych naukowców” Twaina wypaczonych ponad sto lat temu.

Lepsza znajomość Bernoulliego, Hotellinga i Twaina poprawiłaby dokładność i czytelność tego artykułu, ale ostatecznie wydaje się, że dobrze zrozumiał.

Whuber
źródło
4
To było moje główne danie na wynos. Autor artykułu nie myli się . Z drugiej strony jego uzasadnienie „ponieważ matematyczne” jest dalekie od podstaw.
Fomite
1
co za miła i dobrze wyważona odpowiedź! Chcę dać to 100 marek
Siddharth Gopi
34

Humorystycznie napisałem właśnie wpis na blogu na ten właśnie temat: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

Zasadniczo, prawo wielkich liczb jest takie, że wraz ze wzrostem liczby prób losowego procesu średnia tych prób zbliża się do rzeczywistej średniej (lub oczekiwań, w przypadku bardziej złożonych rozkładów). Tak więc, jeśli rzucisz monetą raz i zdobędziesz głowy, Twoje prawdopodobieństwo wyrzucenia głów wynosi 1,0, a gdy rzucisz coraz więcej monet, zbliżasz się coraz bardziej do 0,50.

Autor twierdzi, że Apple będzie miało kłopoty w przyszłości z powodu czegoś, co tak naprawdę wcale nie jest związane z prawem wielkich liczb. Mianowicie, w miarę jak Apple rośnie, ten sam procentowy wzrost ceny akcji, zysków itp. Staje się trudniejszy do osiągnięcia w wartościach bezwzględnych w dolarach. Zasadniczo, aby pozostać na kursie, Apple musi zdobywać coraz większe trafienia.

Powiązanie tego z zachowaniem przypadkowego procesu zbieżnego ze średnią wymaga poważnej gimnastyki umysłowej. O ile mogę stwierdzić, twierdzenie jest takie, że „Niesamowitość twoich produktów” jest procesem losowym i chociaż Apple ma serię niesamowitych „Above Average”, w końcu będą musieli zbliżyć się do „Middling” „. Ale to jest naprawdę charytatywne dla autora.

To, że 500 miliardów to duża liczba, nie oznacza, że ​​działa na nią „prawo wielkich liczb”.

Fomite
źródło
8
(+1) Na początku, kiedy zacząłem czytać artykuł, pomyślałem, że autor może łączyć prawo wielkich liczb z regresją do średniej . Następnie dotarłem do akapitu, który zaczyna się od „Znany również jako złote twierdzenie ...”. To brzmi jak ktoś, kto przejrzał „ Drunkard's Walk” L. Mlodinowa : Jak losowość rządzi naszym życiem (inaczej ciekawa lektura), a potem pomyślał, że coś wie.
kardynał
8
„Niesamowitość twoich produktów” jako przypadkowy proces, czuję, że właśnie powstaje nowa gałąź statystyk.
asjohnson
1
Blog Andrew Gelmana również prowadzi dyskusję. andrewgelman.com/2012/02/…
zbicyclist
13

Nie ma powodu, aby sądzić, że ceny akcji w czasie dla konkretnej firmy reprezentują niezależne, identycznie rozmieszczone zmienne losowe.

Dimitriy V. Masterov
źródło
Cóż, tak, ale założenie może zostać znacznie złagodzone, aby mógł się utrzymać.
mpiktas
Ale nadal potrzebujesz niezależności, co nie ma sensu, gdy mówisz o MZD ceny akcji, chyba że traktujesz finanse jako szczególny przypadek ruletki. Ale w takim przypadku z pewnością regresja do średniej byłaby bardziej użyteczną koncepcją, a nie LLN. Nie jest też dla mnie jasne, do jakiego losowego procesu stosuje się LLN. Czy to sama cena, zmiana ceny, czy kapitalizacja rynkowa Apple? Wreszcie nie jestem pewien, czy oczekiwana wartość, do której próbka oznacza rzekomo zbieżność w czasie, ma znaczenie w którymkolwiek z trzech powyższych przypadków.
Dimitriy V. Masterov
1
Dymitrze, twoje uwagi są dobrze przyjęte. Zauważ jednak, że artykuł (jakkolwiek bezsensowny) odnosi się do pracy Bernoulli'ego, którą jest WLLN. Możemy na przykład uciec od nieskorelowanych, a nie niezależnych zmiennych losowych, a nawet łagodnej korelacji, o ile nie rośnie ona zbyt szybko w zależności od liczby zmiennych.
kardynał
iidxi
3
XiL2Var(Sn)=o(n2)XiX¯nμ¯n0w prawdopodobieństwie. Oczywiście istnieją bardziej ogólne formy nawet WLLN. (Tak przy okazji, +1)
kardynał