Czy dwie losowe zmienne mogą mieć taki sam rozkład, a jednocześnie być prawie na pewno różne?

21

Czy to możliwe, że dwie zmienne losowe mają ten sam rozkład, a mimo to prawie na pewno różnią się?

distributions probability HornetsFan
źródło

38

Niech i zdefiniuj . Łatwo jest udowodnić, że . $X\sim N(0,1)$ $Y=-X$ $Y\sim N(0,1)$

Ale

P. {ω : X (ω) = Y (ω)} = P. {ω : X (ω) = 0, Y (ω) = 0} \leq P. {ω : X (ω) = 0} = 0 .

$P\{\omega : X(\omega)=Y(\omega)\} = P\{\omega : X(\omega)=0,Y(\omega)=0\} \leq P\{\omega : X(\omega)=0\} = 0 \, .$

Dlatego i różnią się z prawdopodobieństwem jeden. $X$ $Y$

Zen
źródło

18

Ta sama sztuczka działa znacznie bardziej ogólnie, a nawet w przypadkach, które „wydają się” prostsze dla kogoś, kto pierwszy zetknie się z tym tematem. Weźmy na przykład i gdzie jest losową zmienną Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym .

X

$X$

1 - X

$1-X$

X

$X$

1 / 2

$1/2$

kardynał

24

Dowolna para niezależnych zmiennych losowych i o tym samym rozkładzie ciągłym zapewnia kontrprzykład. $X$ $Y$

W rzeczywistości dwie zmienne losowe o tym samym rozkładzie niekoniecznie są zdefiniowane w tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa, dlatego pytanie nie ma w ogóle sensu.

Stéphane Laurent
źródło

3

(+1) W szczególności twój drugi punkt jest ważny i po zrozumieniu pomaga wyjaśnić różnice między tymi dwoma pojęciami.

kardynał

-1

Rozważmy i z z miarą Borela lub Lebesgue'a. Zarówno skumulowane prawdopodobieństwo wynosi a rozkład prawdopodobieństwa wynosi . Dla sumy rozkład jest masą jednostkową Diraca przy . $X(x)=x$ $Y(x)=1-x$ $x \in [0,1]$ $F(x)=x$ $f(x)=1$ $X+Y$ $x=1$

RRBaldino
źródło

Witamy na naszej stronie. Czy możesz wyjaśnić, w jaki sposób twój post odpowiada na pytanie w tym wątku i pokazać, jak różni się on od odpowiedzi udzielonej przez Zen (i komentarza @Cardinal do tej odpowiedzi )?

whuber

Czy dwie losowe zmienne mogą mieć taki sam rozkład, a jednocześnie być prawie na pewno różne?

Odpowiedzi: