Czy dwie losowe zmienne mogą mieć taki sam rozkład, a jednocześnie być prawie na pewno różne?

21

Czy to możliwe, że dwie zmienne losowe mają ten sam rozkład, a mimo to prawie na pewno różnią się?

HornetsFan
źródło

Odpowiedzi:

38

Niech i zdefiniuj . Łatwo jest udowodnić, że .Y = - X Y N ( 0 , 1 )XN.(0,1)Y=-XYN.(0,1)

Ale

P.{ω:X(ω)=Y(ω)}=P.{ω:X(ω)=0,Y(ω)=0}P.{ω:X(ω)=0}=0.

Dlatego i różnią się z prawdopodobieństwem jeden.XY

Zen
źródło
18
Ta sama sztuczka działa znacznie bardziej ogólnie, a nawet w przypadkach, które „wydają się” prostsze dla kogoś, kto pierwszy zetknie się z tym tematem. Weźmy na przykład i gdzie jest losową zmienną Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu równym . X1-XX1/2)
kardynał
24

Dowolna para niezależnych zmiennych losowych i o tym samym rozkładzie ciągłym zapewnia kontrprzykład.XY

W rzeczywistości dwie zmienne losowe o tym samym rozkładzie niekoniecznie są zdefiniowane w tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa, dlatego pytanie nie ma w ogóle sensu.

Stéphane Laurent
źródło
3
(+1) W szczególności twój drugi punkt jest ważny i po zrozumieniu pomaga wyjaśnić różnice między tymi dwoma pojęciami.
kardynał
-1

Rozważmy i z z miarą Borela lub Lebesgue'a. Zarówno skumulowane prawdopodobieństwo wynosi a rozkład prawdopodobieństwa wynosi . Dla sumy rozkład jest masą jednostkową Diraca przy .X(x)=xY(x)=1-xx[0,1]fa(x)=xfa(x)=1X+Yx=1

RRBaldino
źródło
Witamy na naszej stronie. Czy możesz wyjaśnić, w jaki sposób twój post odpowiada na pytanie w tym wątku i pokazać, jak różni się on od odpowiedzi udzielonej przez Zen (i komentarza @Cardinal do tej odpowiedzi )?
whuber