Jak jest , współrzędna biegunowa, rozkładana, gdy i kiedy ?

19

Niech wybrane zostaną współrzędne kartezjańskie losowego punktu st .x,y(x,y)U(10,10)×U(10,10)

Tak więc, promień , a nie jest rozmieszczone równomiernie jak sugeruje \ Rho jest PDF . ρρ=x2+y2ρ

Niemniej jednak oczekiwałbym, że θ=arctanyx będzie prawie jednolity, z wyłączeniem artefaktów z powodu 4 resztek na krawędziach:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Poniżej przedstawiono grafically obliczone funkcje gęstości prawdopodobieństwa o θ i ρ : wprowadź opis zdjęcia tutaj

Teraz, jeśli pozwolę aby były rozłożone st wtedy wydaje się równomiernie rozłożona:x , y N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 ) θx,yx,yN(0,202)×N(0,202)θ

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Dlaczego nie jest jednolita, gdy i jest jednolita, gdy ?( x , y ) U ( - 10 , 10 ) × U ( - 10 , 10 ) x , y N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 )θ(x,y)U(10,10)×U(10,10)x,yN(0,202)×N(0,202)

Użyłem kodu Matlab:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Podstawienie trzeciej linii: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);z r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;zmieni rozkład z normalnego na jednolity.(x,y)

0x90
źródło
5
Pytanie to wygląda ładniej z każdą edycją, a tytuł pytania jest jaśniejszy i bardziej zwięzły. Dobra robota @ 0x90.
Michael R. Chernick
3
+1. Interesujące jest to, że rozkład normalny jest jedynym, który prowadzi do równomiernie rozłożonych kątów (tj. Do symetrycznego rozkładu obrotowego 2D), patrz stats.stackexchange.com/a/255417/28666 .
ameba mówi Przywróć Monikę

Odpowiedzi:

13

Odwołujesz się do transformacji z pary niezależnych zmiennych do reprezentacji biegunowej (promień i kąt), a następnie patrzysz na rozkład krańcowy .( R , θ ) θ(X,Y)(R,θ)θ

Przedstawię nieco intuicyjne wyjaśnienie (choć matematyczne wyprowadzenie gęstości robi zasadniczo to, co opisuję nieformalnie).

Zauważ, że jeśli skalujesz dwie zmienne, X i Y według jakiejś wspólnej skali (np. Przejdź od U (-1,1) do U (-10,10) lub od N (0,1) do N (0,20) na obu zmiennych jednocześnie), co nie ma znaczenia dla rozkładu kąta (wpływa tylko na skalę rozkładu promienia). Rozważmy więc tylko przypadki jednostkowe.

Najpierw zastanów się, co się dzieje z jednolitym etui. Zauważ, że rozkład jest równomierny w stosunku do kwadratu jednostkowego, więc gęstość prawdopodobieństwa w regionie zawartym w jest proporcjonalna do obszaru regionu. W szczególności spójrz na gęstość związaną z elementem kąta, blisko poziomu (blisko kąta ) i na przekątnej (blisko kąta ): d θ θ = 0 θ = π / 4[1,1]2dθθ=0θ=π/4

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Oczywiście element prawdopodobieństwa (tj. powierzchni) odpowiadający elementowi kąta ( ) jest większy, gdy kąt znajduje się w pobliżu jednej z przekątnych. Rzeczywiście rozważ wpisanie okręgu wewnątrz kwadratu; obszar rozpięty o dany mały kąt wewnątrz koła jest stały, a następnie część na zewnątrz koła rośnie, gdy zbliżamy się do przekątnej, gdzie jest ona maksymalna. d θrefaθreθ

To całkowicie odpowiada wzorowi widocznemu w symulacjach.

Rzeczywiście, widzimy, że gęstość musi być proporcjonalna do długości odcinka od środka kwadratu do jego krawędzi; prosta trygonometria jest wystarczająca do uzyskania gęstości, a następnie łatwo jest znaleźć stałą wymaganą do zintegrowania gęstości z 1.

[Edytuj: dodałem ten następny fragment, aby omówić promień, ponieważ pytanie zmieniło się od mojej pierwotnej odpowiedzi.]

Zauważ, że jeśli mieliśmy równomierne rozprowadzenie nad jednostką okręgu (czyli ta, którą wpisano na placu przed), a następnie gęstość promieniu do tego byłaby proporcjonalna do promienia (pod powierzchnię małego elementu pierścieniowego o szerokości przy promień - tj. między i - ma powierzchnię proporcjonalną do ). Następnie, gdy wychodzimy poza koło, nowe obszary pierścieniowe o większym promieniu uzyskują wkłady gęstości tylko z części kwadratu, więc gęstość zmniejsza się (początkowo dość szybko, a następnie wolniej) między a . (Ponownie dość proste pojęcia geometryczne są wystarczające, aby uzyskać funkcjonalną formę gęstości, jeśli jest potrzebna).r r r + d r r 1rerrrr+rerr12)


Natomiast jeśli rozkład złącza jest symetryczny obrotowo względem początku, to element prawdopodobieństwa pod pewnym kątem nie zależy od kąta (jest to zasadniczo tautologia!). Dwuwymiarowy rozkład dwóch niezależnych standardowych Gaussów jest obrotowo symetryczny względem pochodzenia:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

(kod dla tego obrazu opartego na kodzie Elan Cohena tutaj , ale jest miłą alternatywą tutaj i coś między nimi tutaj )

W konsekwencji objętość zawarta w pewnym kącie jest taka sama dla każdego , więc gęstość związana z kątem jest jednolita dla .θ [ 0 , 2 π )reθθ[0,2)π)

[Tarczę polarną zwykle stosowaną do całkowania gęstości normalnej nad linią rzeczywistą można wykorzystać, aby dowiedzieć się, że gęstość kwadratu promienia jest ujemna wykładniczo, a stamtąd gęstość promienia jest łatwa do zidentyfikowania za pomocą prostego argumentu transformacji z funkcja dystrybucji]

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło
4
Cztery wartości szczytowe rozkładu są rzeczywiście spowodowane czterema narożnikami kwadratu . Zauważ, że każdy sferycznie symetryczny rozkład doprowadzi do rozkładu Uniform na , zaczynając od Uniform na kulach i okręgach wyśrodkowanych na . ( - 10 , 10 ) 2 θ ( 0 , 0 )θ(-10,10)2)θ(0,0)
Xi'an
2
+1. Interesujące jest to, że rozkład normalny jest jedynym, który prowadzi do rotacyjnego rozkładu symetrycznego 2D, patrz stats.stackexchange.com/a/255417/28666 . To było dla mnie zaskakujące.
ameba mówi Przywróć Monikę
3
@amoeba Tak, to jedyny okrągły symetryczny rozkład, który jest wynikiem niezależnych marginesów.
Glen_b
2
Myślę, że to całkiem niesamowite. Zastanów się, czy nie wspomnieć o tym w swojej odpowiedzi!
ameba mówi Przywróć Monikę
6

Odpowiem na pytanie o normalny przypadek prowadzący do jednolitego rozkładu. Dobrze wiadomo, że jeśli i są niezależne i normalnie rozmieszczone, kontury o stałej gęstości prawdopodobieństwa są okręgiem w płaszczyźnie . Promień ma rozkład Rayleigha. Dla dobrej dyskusji na ten temat artykuł w Wikipedii zatytułowany Dystrybucja Rayleigha.Y x - y R = XYx-yR=X2+Y2

Teraz spójrzmy na losowe zmienne i za pomocą współrzędnych biegunowych.YXY

Y = r sin ( θ ) X 2 + Y 2 = r 2 θ ( 0 , 2 π ) r X Y 0X=rcos(θ) , . zauważ, że . Jeśli jest równomierne dla a ma rozkład Rayleigha, i będą niezależnymi normami, z których każda ma średnią i wspólną wariancję. Odwrotna jest również prawda. Dowód przeciwny jest, jak sądzę, OP chce jako odpowiedź na drugą część pytania.Y=rsin(θ)X2+Y2=r2θ(0,2π)rXY0

Oto szkic dowodu. Bez utraty ogólności możemy założyć, że jest rozkładem a jest rozkładem i jest od siebie niezależny.N ( 0 , 1 ) Y N ( 0 , 1 )XN(0,1)YN(0,1)

Następnie gęstość złącza . Użyj transformacji do współrzędnych biegunowych, aby uzyskać . Od i . Więc i . Oblicz jakobian transformacji i dokonaj odpowiedniego podstawienia na . w rezultacie będzie dla i . To pokazuje, że i theta są niezależne odg ( R , θ ) x = R sin ( θ ) r = r cos ( θ ) R = f(x,y)=(1/2π)exp[([x2+y2])/2]g(r,θ)x=rsin(θ)y=rcos(θ) θ=arctan(x/y)f(x,y)g(r,θ)rexp[(-r2)/(2π)]r00θ2πrr1/(2π)r=x2+y2θ=arctan(x/y)f(x,y)g(r,θ)rexp[(r2)/(2π)]r00θ2πrro rozkładzie Rayleigha i theta ma stałą gęstość .1/(2π)

Michael R. Chernick
źródło
Oznacza to, że jeśli spojrzysz na wysokość dwuwymiarowej gęstości w stałej odległości promieniowej od środka (w tym przypadku początku), będzie ona miała tę samą wartość we wszystkich punktach tego okręgu.
Michael R. Chernick
@ 0x90 Tak, twój link pokazuje jeden ze sposobów, aby to zobaczyć, to spojrzeć na formę kwadratową w wykładniku gęstości. Ogólnie rzecz biorąc, dla dwuwymiarowego ustawienia normalnego wykładnik stałej określa kontury stałej gęstości, a równanie to jest elipsą. w szczególnym przypadku, gdy macierz kowariancji jest skalowaną matirix tożsamości, elipsa upraszcza się w okrąg.
Michael R. Chernick
2
0 Cauchy ( 0 , 1 ) arctanX,Y0Cauchy(0,1)arctan arctan(X/Y)
1
@Francis W większości doceniam twoją dokładną edycję wszystkich moich równań. Chcę również powiedzieć, że powyższy komentarz zdecydowanie pokazuje pomysłowe podejście do rozwiązania problemu jednolitości z theta. Jestem pewien, że niektórzy zgodzą się, że jest łatwiej.
Michael R. Chernick
6

θ(X,Y)[1,1]×[1,1]14014

Obszarem zainteresowania dla naszego pytania jest czerwony sektor na tym rysunku: kwadrat z zacienionym sektorem

θθ+dθθθ+dθθ

θ[π4,π4]π2

1cosθ

1cos(θ+dθ)=1cosθ+sinθcos2θdθ.

abα12absinα

12(1cosθ)(1cosθ+sinθcos2θdθ)sindθ=dθ2cos2θ
dθsindθ=dθ

θ

18cos2θ
θ[π4,π4]π2

Weryfikacja:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )

histogram + gęstość

Elvis
źródło