Średnia harmoniczna minimalizuje sumę kwadratowych błędów względnych

13

Szukam odniesienia, w którym udowodniono, że harmoniczna oznacza

x¯h=ni=1n1xi

minimalizuje (w ) sumę kwadratowych błędów względnychz

i=1n((xiz)2xi).
Martin Van der Linden
źródło

Odpowiedzi:

13

Dlaczego potrzebujesz referencji? Jest to prosty problem rachunku różniczkowego: aby problem, który sformułowałeś, miał sens, musimy założyć, że wszystkie xi>0 . Następnie zdefiniuj funkcję

f(z)=i=1n(xiz)2xi
Następnie oblicz pochodną w odniesieniu do z :
f(z)=2i=1n(1zxi)
a następnie rozwiązanie równania f(z)=0 daje rozwiązanie. Teraz oczywiście musimy sprawdzić, czy jest to rzeczywiście minimum, aby obliczyć drugą pochodną:
f(z)=2i=1n(01xi)=2i=1n1xi>0
za ostatnią nierówność, której użyliśmy, wreszcie, że wszystkie xi>0. Bez tego założenia rzeczywiście moglibyśmy zaryzykować, że znaleźliśmy maksimum!

Jeśli chodzi o odniesienie, może https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean lub https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean lub odniesienia w nich zawarte.

kjetil b halvorsen
źródło
Dziękuję za odpowiedź. Referencje pozwoliłyby mi zaoszczędzić trochę miejsca. Chcę przytoczyć wynik jako Lemma do innych dowodów bez konieczności dołączania samodzielnego dowodu Lemmy.
Martin Van der Linden
1
Trudno znaleźć wyraźne odniesienie, uważa się je za podstawowe, aby na nie zasłużyć! Czy nie możesz po prostu powiedzieć, że dowód jest podstawowym ćwiczeniem rachunku różniczkowego i całkowego?
kjetil b halvorsen
Choć jest to tak proste, zawsze wolę podać odniesienie. Rozumiem jednak, że trudno znaleźć podstawowe wyniki, a pozostawienie dowodu czytelnikowi jest oczywistą opcją.
Martin Van der Linden
Tymczasowy ping poza tematem: rozważ głosowanie na synonim spearman-> spearman -rho tutaj stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonim . Dzięki
ameba mówi Przywróć Monikę
12

Można zauważyć, że jest to regresja ważona metodą najmniejszych kwadratów o wadze .1/xi

Aby nawiązać połączenie z referencjami, powróć do standardowej notacji, w której szukasz która minimalizujeβ

ωi(yiβ)2.

Jest to model z pojedynczym stałym regresorem i wagą macierzy

X=(111)
W=(ω1000ω20000ωn).

nazwę „ ” na „ ” („odpowiedź”), a parametr do oszacowania to zamiast . Wagi wynoszą . Konieczne jest, aby wszystkie przekroczyły . Rozwiązaniem jestxiyiβzωi=1/xi0

β^=(XWX)1XWy=ixiωiiωi=ixi/xii1/xi=n1/xi,

QED .


Komentarze

  1. Ta sama analiza dotyczy wszelkich dodatnich zestawów wag, zapewniając uogólnienie średniej harmonicznej i użyteczny sposób jej scharakteryzowania.

  2. Gdy, podobnie jak w kontrolowanym eksperymencie, są postrzegane jako ustalone (a nie losowe), maszyneria najmniej ważonych kwadratów zapewnia przedziały ufności i przedziały prognozowania itp . Innymi słowy, umieszczenie problemu w tym ustawieniu automatycznie umożliwia ocenę dokładności średniej harmonicznej.xi

  3. Wyświetlanie średniej harmonicznej jako rozwiązania ważonego problemu zapewnia wgląd w jego naturę, a zwłaszcza wrażliwość na dane. Jest obecnie jasne, że Najistotniejszymi czynnikami są te o najmniejszej wartości --and ich znaczenie jest określane za pomocą wagi macierzy .xiW

Odniesienie

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck i G. Geoffrey Vining, Wprowadzenie do analizy regresji liniowej. Piąta edycja. J. Wiley, 2012. Sekcja 5.5.2.

Whuber
źródło