Okresy przewidywania i tolerancji

Mam kilka pytań dotyczących przedziałów prognoz i tolerancji.

Najpierw ustalmy przedziały tolerancji: otrzymujemy poziom ufności, powiedzmy 90%, procent populacji do przechwycenia, powiedzmy 99%, i wielkość próby, powiedzmy 20. Rozkład prawdopodobieństwa jest znany, powiedzmy normalny dla wygody. Teraz, biorąc pod uwagę powyższe trzy liczby (90%, 99% i 20) oraz fakt, że podstawowy rozkład jest normalny, możemy obliczyć liczbę tolerancji . Biorąc pod uwagę próbkę ze średnią i odchyleniem standardowym , przedział tolerancji wynosi . Jeśli ten przedział tolerancji obejmuje 99% populacji, wówczas próbka jest nazywana sukcesem $k$ $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ $\bar{x}$ $s$ $\bar{x}\pm ks$ $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ a warunkiem jest, aby 90% próbek zakończyło się sukcesem .

Komentarz: 90% jest a priori prawdopodobieństwo próbka się sukcesem. 99% to warunkowe prawdopodobieństwo, że przyszła obserwacja będzie w przedziale tolerancji, biorąc pod uwagę, że próbka zakończy się sukcesem.

Moje pytania: czy możemy postrzegać przedziały prognozowania jako przedziały tolerancji? Patrząc na Internet, dostałem sprzeczne odpowiedzi, nie wspominając już o tym, że nikt tak naprawdę nie zdefiniował dokładnie przedziałów prognoz. Więc jeśli masz dokładną definicję przedziału prognozy (lub referencji), byłbym wdzięczny.

Zrozumiałem, że na przykład przedział predykcji 99% nie przechwytuje 99% wszystkich przyszłych wartości dla wszystkich próbek. Byłby to taki sam przedział tolerancji, który obejmuje 99% populacji ze 100% prawdopodobieństwem.

W definicjach, które znalazłem dla przedziału predykcji 90%, 90% jest prawdopodobieństwem a priori przy danej próbce, powiedzmy (rozmiar jest ustalony) i jednej przyszłej obserwacji , że będzie w przedziale prognoz. Wydaje się więc, że zarówno próbka, jak i przyszła wartość są podawane jednocześnie, w przeciwieństwie do przedziału tolerancji, w którym próbka jest podawana iz pewnym prawdopodobieństwem jest sukcesem , pod warunkiem, że próbka jest sukces $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ $y$ $y$ , podana jest przyszła wartość iz pewnym prawdopodobieństwem mieści się w przedziale tolerancji. Nie jestem pewien, czy powyższa definicja przedziału predykcji jest prawidłowa, czy nie, ale wydaje się ona sprzeczna z intuicją (przynajmniej).

Jakaś pomoc?

prediction prediction-interval tolerance-interval Ioannis Souldatos
źródło

Jednostronne przedziały tolerancji dla normalnego pobierania próbek mogą pomóc w zrozumieniu tego pojęcia. Górna granica tolerancji jest niczym innym, jak górną granicą ufności -wartości zakładanego rozkładu modelu. Dlatego w przypadku rozkładu normalnego jest to górna granica ufności parametru gdzie wynosi standardowego rozkładu gaussowskiego.

99 %

$99\%$

99 %

$99\%$

μ + k σ

$\mu + k\sigma$

k = z_{99 %}

$k=z_{99\%}$

99 %

$99\%$

Stéphane Laurent,

To dobra przeformułowanie, Stéphane, ponieważ natychmiast pokazuje, że istnieje kilka rodzajów limitów tolerancji: można poprosić o górny limit ufności na , o niższy limit ufności na lub (powiedzmy) obiektywne oszacowanie tego parametru. Wszystkie trzy są w literaturze nazywane „granicami tolerancji”.

μ + z_{0.99} σ

$\mu + z_{0.99}\sigma$

μ + z_{0.99} σ

$\mu + z_{0.99}\sigma$

whuber

Myślę, że wolisz powiedzieć niższy limit ufności dla ?

μ - z_{0.99} σ

$\mu - z_{0.99}\sigma$

Stéphane Laurent,

Właściwie nie, Stéphane (dlatego starałem się powtórzyć formułę parametru). Istnieją również trzy podobne definicje dolnej granicy tolerancji. Na przykład, może chcemy pod -estimate górnego 99. percentyla populacji, ale do kontrolowania ilości niedoszacowania nalegamy tam być (powiedzmy) do 5% szans, że nasza zaniżona nadal będą zbyt wysokie. Pozwoli nam to powiedzieć: „Dane pokazują z 95% pewnością, że 99. percentyl populacji przekracza taką a taką wartość”.

whuber

Odpowiedzi:

Twoje definicje wydają się poprawne.

Książka skonsultować się o tych sprawach jest statystyczne Odstępy (Gerald Hahn & William Meeker), 1991. Cytuję:

Przedział przewidywania dla jednej przyszłej obserwacji to przedział, który będzie, z określonym stopniem pewności, zawierać następną (lub inną określoną wcześniej) losowo wybraną obserwację z populacji.

[A], przedział tolerancji jest przedział czasu, można stwierdzić, że zawiera co najmniej jedną określoną część, p , w populacji o określonym stopniem pewności, . $100(1-\alpha)\%$

Oto poprawki w standardowej terminologii matematycznej. Niech dane należy uznać za realizację niezależnych zmiennych losowych ze wspólną funkcją dystrybucji skumulowanej . ( pojawia się jako przypomnienie, że może być nieznany, ale zakłada się, że leży w danym zestawie dystrybucji ). Niech będzie kolejną zmienną losową o tym samym rozkładzie i niezależną od pierwszych zmiennych. $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$ $F_\theta$ $\theta$ $F$ ${F_\theta \vert \theta \in \Theta}$ $X_0$ $F_\theta$ $n$

Przedział przewidywania (dla jednej obserwacji przyszłych) podaje końcowych , ma tę właściwość, że określenie $[l(\mathbf{x}), u(\mathbf{x})]$

$inf_{θ} {{Pr}_{θ} (X_{0} \in [l (X), u (X)])} = 100 (1 - α) % .$ $\inf_\theta\{{\Pr}_\theta(X_0 \in [l(\mathbf{X}), u(\mathbf{X})])\}= 100(1-\alpha)\%.$
W szczególności odnosi się do rozkładu określonego przez prawo . Zwróć uwagę na brak jakichkolwiek prawdopodobieństw warunkowych: jest to pełne wspólne prawdopodobieństwo. Zauważ też, że brak jakiegokolwiek odniesienia do sekwencji czasowej: bardzo dobrze można zaobserwować w czasie przed innymi wartościami. Nie ważne. ${\Pr}_\theta$ $n+1$ $(X_0, X_1, \ldots, X_n)$ $F_\theta$ $X_0$

Nie jestem pewien, które aspekty mogą być „sprzeczne z intuicją”. Jeśli pomyślimy o wybraniu procedury statystycznej jako czynności, którą należy wykonać przed zebraniem danych, jest to naturalne i rozsądne sformułowanie planowanego dwuetapowego procesu, ponieważ obie dane ( ) a „przyszła wartość” musi być modelowana losowo. $X_i, i=1,\ldots,n$ $X_0$
Przedział tolerancji podaje końcowych , ma właściwość określającą tę $(L(\mathbf{x}), U(\mathbf{x})]$

$inf_{θ} {{Pr}_{θ} (F_{θ} (U (X)) - F_{θ} (L (X)) \geq p)} = 100 (1 - α) % .$ $\inf_\theta\{{\Pr}_\theta\left(F_\theta(U(\mathbf{X})) - F_\theta(L(\mathbf{X})\right) \ge p)\} = 100(1-\alpha)\%.$
Zwróć uwagę na brak jakiegokolwiek odniesienia do : nie odgrywa żadnej roli. $X_0$

Gdy jest zbiorem rozkładów normalnych, istnieją przedziały predykcji formularza $\{F_\theta\}$

l (x) = \bar{x} - k (α, n) s, u (x) = \bar{x} + k (α, n) s

$l(\mathbf{x}) = \bar{x} - k(\alpha, n) s, \quad u(\mathbf{x}) = \bar{x} + k(\alpha, n) s$

( to średnia próbki, a to standardowe odchylenie próbki). Wartości funkcji , które zestawiają Hahn i Meeker, nie zależą od danych . Istnieją inne procedury interwału przewidywania, nawet w przypadku Normalnym: nie są to jedyne. $\bar{x}$ $s$ $k$ $\mathbf{x}$

Podobnie istnieją przedziały tolerancji formy

L (x) = \bar{x} - K (α, n, p) s, U (x) = \bar{x} + K (α, n, p) s .

$L(\mathbf{x}) = \bar{x} - K(\alpha, n, p) s, \quad U(\mathbf{x}) = \bar{x} + K(\alpha, n, p) s.$

Istnieją inne procedury przedziałów tolerancji : nie są to jedyne.

Zauważając podobieństwo między tymi parami wzorów, możemy rozwiązać równanie

k (α, n) = K (α^{'}, n, p) .

$k(\alpha, n) = K(\alpha', n, p).$

Pozwala to na reinterpretację interwału predykcji jako interwału tolerancji (na wiele różnych możliwych sposobów poprzez zmianę i ) lub na reinterpretację interwału tolerancji jako interwału predykcji (dopiero teraz jest zwykle jednoznacznie określana przez i ). Może to być jedno źródło zamieszania. $\alpha'$ $p$ $\alpha$ $\alpha'$ $p$

Whuber
źródło

Pomylenie tych przedziałów jest prawdziwe. Dziesięć lat temu odbyłem kilka trudnych rozmów ze statystycznym rządem, który był nieświadomy różnicy i (zjadliwie) nie był w stanie jej rozpoznać. Jej znacząca rola w tworzeniu wskazówek, recenzowaniu raportów, doradzaniu pracownikom zajmującym się sprawami, dystrybucji oprogramowania, a nawet publikacji recenzowanych, przyczyniła się do kontynuacji tych nieporozumień. Więc uważaj!

whuber

Bardzo ładna odpowiedź, dzięki. Miałem serce, jak twierdzili niektórzy statystycy, że przedział przewidywania to przedział tolerancji z . Czy za tym pomysłem kryje się fakt? Innymi słowy, czy to prawda, że , czy coś takiego?

p = 50 %

$p=50\%$

k (α, n) = K (α, n, 0.5)

$k(\alpha,n)=K(\alpha,n,0.5)$

Stéphane Laurent,

Nie, to nieprawda @ Stéphane. Aby zobaczyć, dlaczego nie, rozważ przypadek wyjątkowo dużej wartości i umiarkowanego zaufania, powiedzmy 95%. Przy dwustronny przedział tolerancji powinien być zatem bardzo zbliżony do jakiegoś środkowego 50% rozkładu, więc z definicji istnieje tylko 50% szans, że będzie w nim zawarte, a nie pożądane 95%. To ogromna różnica! Intuicyjnie przedział tolerancji dla 95% populacji powinien być zbliżony do przedziału prognozy z 95% pewnością, ale nadal nie są do końca zgodni.

n

$n$

p = 50 %

$p=50\%$

X_{0}

$X_0$

whuber

Właśnie o tym pomyślałem i uważam, że fakt jest następujący: gdy jest duże. Łatwo to zobaczyć, gdy jest klasycznym współczynnikiem tolerancji podanym za pomocą niecentralnego rozkładu t ( -kwantal to parametr niecentralności )

k (α, n) \approx K (50 %, n, 1 - α)

$\boxed{k(\alpha,n) \approx K(50\%,n,1-\alpha)}$

n

$n$

K

$K$

50 %

$50\%$

z_{1 - α} / \sqrt{n}

$z_{1-\alpha}/\sqrt{n}$

Stéphane Laurent,

@whuber. Dziękuję za Twoją odpowiedź. Będę musiał upewnić się, że to rozumiem, zanim oznaczę to poprawnie. Daj mi trochę czasu na jego „strawienie”.

Ioannis Souldatos

Jak rozumiem, dla normalnych granic tolerancji wartość pochodzi z niecentralnego t percentyla. Oczywiście, zdaniem W Hubera, niektórzy statystycy nie są zaznajomieni z ideą granic tolerancji w porównaniu z granicami prognoz; wydaje się, że idea tolerancji pojawia się głównie w projektowaniu inżynierskim i produkcji, w przeciwieństwie do biostatystyki klinicznej. Być może przyczyną nieznajomości przedziałów tolerancji i pomieszania z przedziałami prognozowania jest kontekst, w którym ktoś otrzymuje szkolenie statystyczne. $K(\alpha,p)$

Scott P.
źródło