Jeśli X i Y są nieskorelowane, to czy X ^ 2 i Y są również nieskorelowane?

29

Jeśli dwie zmienne losowe i są nieskorelowane, to czy możemy również wiedzieć, że i nie są skorelowane? Moja hipoteza jest twierdząca. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

nieskorelowane oznacza lub $X, Y$ $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Czy to oznacza także, co następuje?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence Vegard Stikbakke
źródło

4

Tak. To pytanie zostało już zadane i udzielono odpowiedzi, ale nie mogę znaleźć konkretnego odniesienia na moim urządzeniu mobilnym.

Dilip Sarwate,

2

@DilipSarwate wydaje się, że zaakceptowana odpowiedź już daje przeciwny przykład.

Vim

8

@DilipSarwate W swoim komentarzu musiałeś oznaczać „Nie” zamiast „Tak”!

ameba mówi Przywróć Monikę

11

@amoeba Oryginalna wersja pytania dotyczącego niezależności, na które odpowiedź brzmi tak. Od tego czasu został zredagowany, aby zapytać o nieskorelowane zmienne losowe. Nie mogę teraz zmienić mojego komentarza.

Dilip Sarwate,

Pierwotne pytanie było dość niejasne, ponieważ użyto błędnej definicji niezależności. Obecne pytanie jest nadal mylone, ponieważ zakłada niewłaściwe odliczenie od braku korelacji (zakłada

). Mam nadzieję, że @vegardstikbakke czyta właściwe definicje niezależnych i nieskorelowanych, z kilkoma przykładami.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

Meni Rosenfeld,

Odpowiedzi:

59

Nie. Kontrprzykład:

$X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

$E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

$E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

$f_X$ $y$

Jakub Bartczuk
źródło

8

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

1

Powinieneś także dodać fabułę. Rozważałem podobny przykład (Y = | X | na -1: +1), ale przedstawiłbym to wizualnie.

Anony-Mousse,

2

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

1

@ Anony-Mousse Nie trzeba ograniczać Y. Y = | X | spełnia wymagania.

Loren Pechtel,

LorenPechtel do wizualizacji. Ponieważ IMHO lepiej zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, a nie tylko, że wynik matematyki jest pożądany.

Anony-Mousse,

20

$\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

$\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

$X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

$X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

Silverfish
źródło

9

$E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

Luca Citi
źródło