Dlaczego konieczne jest pobieranie próbek z rozkładu tylnego, jeśli już WIEMY rozkład tylny?

Rozumiem, że stosując podejście bayesowskie do szacowania wartości parametrów:

Rozkład tylny jest kombinacją rozkładu wcześniejszego i rozkładu prawdopodobieństwa.
Symulujemy to, generując próbkę z rozkładu tylnego (np. Przy użyciu algorytmu Metropolis-Hasting do generowania wartości i akceptujemy je, jeśli przekraczają pewien próg prawdopodobieństwa przynależności do rozkładu tylnego).
Po wygenerowaniu tej próbki używamy jej do przybliżenia rozkładu tylnej części ciała i takich rzeczy, jak jej średnia.

Ale czuję, że muszę coś nie rozumieć. Wygląda na to, że mamy rozkład tylny, a następnie próbkujemy z niego, a następnie wykorzystujemy tę próbkę jako przybliżenie rozkładu tylnego. Ale jeśli mamy rozkład tylny na początek, dlaczego musimy go pobrać, aby go przybliżyć?

bayesian inference simulation mcmc posterior Dave
źródło

To pytanie zostało prawdopodobnie rozważone już na tym forum.

Kiedy mówisz, że „masz rozkład tylny”, co dokładnie masz na myśli? „Posiadanie” funkcji , którą znam jest proporcjonalna do tylnej, a mianowicie na przykład całkowicie sztuczny cel $\theta$

π (θ | x) \propto π (θ) \times fa (x | θ)

$\pi(\theta|x) \propto \pi(\theta) \times f(x|\theta)$

nie mówi mi, co jest

π (θ | x) \propto \exp {- | | θ - x | |^{2)} - | | θ + x | |^{4} - | | θ - 2) x | |^{6}}, x, θ \in R^{18},

$\pi(\theta|x)\propto\exp\{-||\theta-x||^2-||\theta+x||^4-||\theta-2x||^6\},\ \ x,\theta\in\mathbb{R}^{18},$

późniejsze oczekiwanie funkcji , np. , średnia tylna działająca jako estymator bayesowski przy standardowych stratach; $\theta$ $\mathbb{E}[\mathfrak{h}(\theta)|x]$
optymalna decyzja w ramach dowolnej funkcji użyteczności, decyzja, która minimalizuje oczekiwaną utratę tylnej;
90% lub 95% przedział niepewności parametru (ów), subwektor parametru (ów) lub funkcja parametru (ów), czyli region HPD ${h = h (θ); π^{h} (h) \geq \underline{h}}$ $\{h=\mathfrak{h}(\theta);\ \pi^\mathfrak{h}(h)\ge \underline{h}\}$
najbardziej prawdopodobny model do wyboru między ustawieniem niektórych składników parametru (parametrów) na określone wartości a utrzymaniem ich nieznanych (i losowych).

To tylko przykłady wielu zastosowań rozkładu tylnego. We wszystkich przypadkach, z wyjątkiem najprostszych, nie mogę udzielić odpowiedzi, wpatrując się w gęstość dystrybucji tylnej i muszę przejść przez rozdzielczości numeryczne, takie jak metody Monte Carlo z łańcuchem Monte Carlo i Markowa.

Xi'an
źródło

Dziękuję bardzo za odpowiedź Xi'an. Jestem pewien, że to odpowiada na moje pytanie, ale wciąż mam trochę trudności z jego zrozumieniem. Czy mam rację, że mamy funkcję gęstości prawdopodobieństwa odpowiadającą a posteriori (tj. Przez połączenie wcześniejszego i prawdopodobieństwa)? Dlaczego nie mogliśmy znaleźć 95% CI bezpośrednio na podstawie tego, a nie na podstawie próbki tylnej dystrybucji?

Dave

@Dave Myślę, że kluczem jest tutaj to, co rozumiesz przez „mieć”. Ogólnie rzecz biorąc, nie będziesz mieć rozwiązania w formie zamkniętej, więc nie będziesz miał „funkcji” w użytecznym znaczeniu.

mnich

@monk dzięki za odpowiedź! Zastanawiasz się nad tym, co stanowi rozwiązanie w formie zamkniętej?

Dave

Załóżmy, że twój przeor to Beta (a, b), a prawdopodobieństwo to Dwumianowe (n, p). Jak obliczyć oczekiwaną wartość swojego tylnego? Spróbuj opracować całkę tego produktu za pomocą pióra i papieru. Ogólnie rzecz biorąc, taka całka będzie wymagała od komputera uzyskania dokładnej wartości. Alternatywnie, możesz odkryć, że Beta jest sprzężona przed Binomialem, a zatem tylna będzie Beta (z łatwo obliczalnymi parametrami). Ale często nie będziesz miał takiego szczęścia. Określenie definicji „formy zamkniętej” jest trudne i warte samodzielnego przeczytania.

mnich

Dlaczego konieczne jest pobieranie próbek z rozkładu tylnego, jeśli już WIEMY rozkład tylny?

Odpowiedzi: