Czy implikuje niezależność i ?

Czy implikuje niezależność i ?$\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$$X$$Y$

Znam tylko z następującą definicję niezależności pomiędzy i .$X$$Y$

$$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$$

Zacznijmy od intuicji. Nachylenie zwykłej najmniejszych kwadratów z z , dla każdej funkcji , jest proporcjonalna do kowariancji i . Zakłada się, że wszystkie regresje są zerowe (nie tylko te liniowe). Jeśli wyobrażasz sobie reprezentowane przez chmurę punktów (naprawdę chmurę gęstości prawdopodobieństwa), to bez względu na to, jak ją pokroisz w pionie i zmienisz kolejność plasterków (która wykonuje mapowanie ), regresja pozostaje zerowa. To implikuje warunkowe oczekiwania$Y$$h(X)$$h$$h(X)$$Y$$(X,Y)$$h$$Y$(które są funkcją regresji) są stałe. Moglibyśmy rozejrzeć się z rozkładami warunkowymi , utrzymując stałe oczekiwania, niszcząc w ten sposób wszelkie szanse na niezależność. Dlatego powinniśmy oczekiwać, że wniosek nie zawsze będzie taki sam.

Istnieją proste kontrprzykłady. Rozważ przykładową przestrzeń dziewięciu elementów abstrakcyjnych i dyskretną miarę z prawdopodobieństwem określonym przez

$$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$$

$$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$$

Zdefiniuj

$$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$$

Możemy wyświetlić te prawdopodobieństwa jako tablicę

$$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$$

(wszystkie pomnożone przez ) indeksowane w obu kierunkach przez wartości .$1/10$$-1,0,1$

Krańcowe prawdopodobieństwa są i obliczone odpowiednio przez sumy kolumn i sumy wierszy tablicy. Ponieważ te zmienne nie są niezależne.

$$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$$ $$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$$ $$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$$

Zostało to skonstruowane tak, aby rozkład warunkowy gdy różni się od innych rozkładów warunkowych dla . Można to zobaczyć, porównując środkową kolumnę macierzy z innymi kolumnami. Symetria współrzędnych i wszystkich prawdopodobieństw warunkowych natychmiast pokazuje, że wszystkie oczekiwania warunkowe są zerowe, skąd wszystkie kowariancje są zerowe, bez względu na to, w jaki sposób powiązane wartości mogą być ponownie przypisane do kolumn.$Y$$X=0$$X=\pm 1$$Y$$X$

Dla tych, którzy mogą pozostać nieprzekonani, kontrprzykład można zademonstrować poprzez bezpośrednie obliczenia - jest tylko funkcji, które należy wziąć pod uwagę i dla każdej z nich kowariancja wynosi zero.$27$