Gdyby , znajdź rozkład .
Mamy
Zastanawiam się, czy powyższe rozróżnienie jest prawidłowe, czy nie.
Z drugiej strony, metoda wydaje się prostsza:
Możemy pisać używając tożsamości
Teraz,
, ostatni to transformacja 2 do 1.
Ale jeśli poproszę o ustalenie rozkładu z definicji domyślam się, że pierwszą metodą jest to, jak powinienem postępować. Obliczenia stają się nieco nieporządne, ale czy dochodzę do właściwego wniosku? Wszelkie alternatywne rozwiązania są również mile widziane.
Continuous Univariate Distribution (Vol.1) autorstwa Johnson-Kotz-Balakrishnan podkreślił tę właściwość rozkładu Cauchy'ego. Jak się okazuje, jest to tylko szczególny przypadek ogólnego wyniku.
Odpowiedzi:
Alternatywny, bardziej uproszczony sposób patrzenia na to:
standardowy rozkład Cauchy'ego:
transformacje zmiennych:
transformacja dystrybucji:
Jeśli pracujesz z tym, co nie musi być tak nieporządne, dostaniesz
Reprezentacja graficzna
Ten rodzaj działa jak tożsamość2 tanz1 -dębnik2)z= tan2 z , ale napisane wyraźniej.
Lub polub swoją reprezentację za pomocą funkcji podziału skumulowanego rozkładufaY( y) = Pr ( Y≤ y) ale teraz do podziału faY( y) = Pr ( y-12)rey≤ Y≤ y+12)rey) .
źródło
Transformacja w drugim podejściu wydaje się brak motywacji (niektóre szczegóły w tym również wymagają uzupełnienia). Tutaj, z obliczeń charakterystycznych funkcji, próbuję wykonać kopię zapasową „tajemniczej” transformacji.
Charakterystyczna funkcjaY można obliczyć w następujący sposób:
Naszym celem jest pokazanie, że całka w(1) równa się charakterystycznej funkcji standardowej zmiennej losowej Cauchy'ego X :
Dlaczego całka w(1) równa całce w (2) ? Na pierwszy rzut oka jest to trochę sprzeczne z intuicją. Aby to zweryfikować, musimy potraktować monotoniczność funkcjitan(⋅) ostrożnie. Kontynuujmy prace(1) :
Kroki(3) -(5) opracował stwierdzenie „ostatni jest transformacją 2 do 1” w pytaniu OP.
źródło