Seans

9

Gdyby XC(0,1), znajdź rozkład Y=2X1X2.

Mamy FY(y)=Pr(Yy)

=Pr(2X1X2y)

={Pr(X(,11+y2y])+Pr(X(1,1+1+y2y]),ify>0Pr(X(1,1+1+y2y])+Pr(X(1,11+y2y]),ify<0

Zastanawiam się, czy powyższe rozróżnienie jest prawidłowe, czy nie.

Z drugiej strony, metoda wydaje się prostsza:

Możemy pisać Y=tan(2tan1X) używając tożsamości 2tanz1tan2z=tan2z

Teraz, XC(0,1)tan1XR(π2,π2)

2tan1XR(π,π)

tan(2tan1X)C(0,1), ostatni to transformacja 2 do 1.

Ale jeśli poproszę o ustalenie rozkładu Yz definicji domyślam się, że pierwszą metodą jest to, jak powinienem postępować. Obliczenia stają się nieco nieporządne, ale czy dochodzę do właściwego wniosku? Wszelkie alternatywne rozwiązania są również mile widziane.


Continuous Univariate Distribution (Vol.1) autorstwa Johnson-Kotz-Balakrishnan podkreślił tę właściwość rozkładu Cauchy'ego. Jak się okazuje, jest to tylko szczególny przypadek ogólnego wyniku.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

wprowadź opis zdjęcia tutaj

UpartyAtom
źródło
4
Drugie rozwiązanie jest całkowicie poprawne, więc nie należy się temu sprzeciwiać.
Xi'an,
1
Dodatek: od P(X<x)=tan1(x)/π+1/2, pierwsza rozdzielczość powinna kończyć się przy użyciu tej tożsamości na stycznej.
Xi'an
@ Xi'an Właściwie próbuję zakończyć argument w pierwszej metodzie.
StubbornAtom

Odpowiedzi:

6

Alternatywny, bardziej uproszczony sposób patrzenia na to:

standardowy rozkład Cauchy'ego:

f(x)dx=π1x2+1dx

transformacje zmiennych:

u(x)=2x1x2andx1(u)=1u2+1u,x2(u)=1+u2+1u

transformacja dystrybucji:

g(u)du=i=1,2f(xi(u))|dxidu|du

Jeśli pracujesz z tym, co nie musi być tak nieporządne, dostaniesz

g(u)=π1u2+1

Reprezentacja graficzna

intuicyjna graficzna reprezentacja transformacji


Ten rodzaj działa jak tożsamość 2tanz1tan2z=tan2z, ale napisane wyraźniej.

Lub polub swoją reprezentację za pomocą funkcji podziału skumulowanego rozkładu FY(y)=Pr(Yy) ale teraz do podziału fY(y)=Pr(y12dyYy+12dy).

Sextus Empiricus
źródło
2
W rzeczywistości formuła transformacji, kiedy x(u) ma więcej niż jeden katalog główny dla dowolnego u, mówić xi(u)=u dla i=1,2,n, jest
g(u)=i=1nf(xi(u))|dxi(u)du|.
Zatem dodatek, który opisujesz jako niezbędny, jest faktycznie wbudowany w formułę.
Dilip Sarwate,
@DilipSarwate Zmienię to.
Sextus Empiricus,
3

Transformacja w drugim podejściu wydaje się brak motywacji (niektóre szczegóły w tym również wymagają uzupełnienia). Tutaj, z obliczeń charakterystycznych funkcji, próbuję wykonać kopię zapasową „tajemniczej” transformacji.

Charakterystyczna funkcja Y można obliczyć w następujący sposób:

φY(t)=E[eitY]=eit2x1x21π(1+x2)dx=1πeit2x1x2darctanx,
co sugeruje, że próbujemy transformacji u=arctanx, który prowadzi do
(1)φY(t)=1ππ/2π/2eit2tanu1tan2udu=1ππ/2π/2eittan(2u)du.

Naszym celem jest pokazanie, że całka w (1) równa się charakterystycznej funkcji standardowej zmiennej losowej Cauchy'ego X:

φX(t)=eitx1π(1+x2)dx(2)=1ππ/2π/2eittanudu

Dlaczego całka w (1) równa całce w (2)? Na pierwszy rzut oka jest to trochę sprzeczne z intuicją. Aby to zweryfikować, musimy potraktować monotoniczność funkcjitan()ostrożnie. Kontynuujmy prace(1):

φY(t)=1ππ/2π/2eittan(2u)du=12πππeittanvdv(Change of variable v=2u)=12π[ππ/2+π/2π/2+π/2π]eittanudu=12φX(t)+12πππ/2eittanvdv+12ππ/2πeittanvdv(3)=12φX(t)+12ππ/20eittanu1du1+12π0π/2eittanu2du2(4)=12φX(t)+12ππ/2π/2eittanvdv=φX(t)(5)

(3): Ponieważ funkcja utan(u) nie jest monotonowy w tym przedziale (π,π), Dokonałem takiego podziału, że każdy intandand jest monotoniczny w oddzielnym przedziale (co zapewnia późniejszą zmianę formuł zmiennych).

(4): Dwie zmiany formuł zmiennych to u1=πv i u2=πv.

(5): Ostatnia zmiana formuły zmiennej u=v.

Kroki (3)-(5) opracował stwierdzenie „ostatni jest transformacją 2 do 1” w pytaniu OP.

Zhanxiong
źródło
Zastanawiam się, dlaczego drugie podejście jest „tajemnicze” lub „pozbawione motywacji”. Fakt, żeΘRect(π/2,π/2)tan(Θ)C(0,1)jest bardzo standardowym wynikiem, który można łatwo zobaczyć za pomocą transformacji całkowej prawdopodobieństwa. I w ostatnim kroku, skąd pochodzęURect(π,π) do V=tanUC(0,1)jest prawdopodobnie uzasadnione następująco:
StubbornAtom
...FV(v)=Pr(tanUv)=FU(tan1v). Rozróżniam powyższe wrtv dostać fV(v)=fU(tan1v)2ddv(tan1v), gdzie mnożę jakobian przez 2, ponieważ transformacja jest dwa do jednego w (π,π). Wszystko to można wyrazić bardziej rygorystycznie.
StubbornAtom