Jeśli wygeneruję losową macierz symetryczną, jaka jest szansa, że ​​jest ona dodatnia?

Mam dziwne pytanie, kiedy eksperymentowałem z wypukłymi optymalizacjami. Pytanie brzmi:

Załóżmy, że losowo (powiedzmy standardowy rozkład normalny) generuję macierz symetryczną (na przykład generuję górną macierz trójkątną i wypełniam dolną połowę, aby upewnić się, że jest symetryczna), jaka jest szansa, że ​​jest to wartość dodatnia określona matryca? Czy w ogóle można obliczyć prawdopodobieństwo?$N \times N$

Jeśli macierze są narysowane na podstawie standardowych iid pozycji iid, prawdopodobieństwo bycia zdefiniowanym dodatnio wynosi około , więc na przykład, jeśli , szansa wynosi 1/1000, i potem dość szybko spada. Obszerną dyskusję na to pytanie można znaleźć tutaj .$p_N\approx 3^{-N^2/4}$$N=5$

Możesz nieco zinterpretować tę odpowiedź, przyjmując, że rozkład wartości własnej macierzy będzie w przybliżeniu półkolem Wignera , który jest symetryczny względem zera. Gdyby wszystkie wartości własne były niezależne, miałbyś szansę na pozytywną definitywność dzięki tej logice. W rzeczywistości zachowuje się , zarówno z powodu korelacji między wartościami własnymi, jak i prawami rządzącymi dużymi odchyleniami wartości własnych, szczególnie najmniejszymi i największymi. W szczególności losowe wartości własne są bardzo podobne do naładowanych cząstek i nie lubią być blisko siebie, dlatego odpychają się nawzajem (wystarczająco dziwnie z tym samym polem potencjalnym co naładowane cząstki, , gdzie$(1/2)^N$$N^2$$\propto 1/r$$r$to odległość między sąsiednimi wartościami własnymi). Proszenie ich o pozytywne nastawienie byłoby zatem bardzo wysoką prośbą.

Ponadto, z uwagi na prawa uniwersalności w teorii macierzy losowych, mocno podejrzewam, że powyższe prawdopodobieństwo będzie prawdopodobnie takie samo dla zasadniczo każdej „rozsądnej” macierzy losowej, z wejściami o średniej skończonej i odchyleniu standardowym.$p_N$