Ogranicza różnicę skorelowanych zmiennych losowych

Biorąc pod uwagę dwie wysoce skorelowane zmienne losowe $X$ i $Y$, Chciałbym ograniczyć prawdopodobieństwo różnicy $|X - Y|$ przekracza pewną kwotę:

$$P( |X - Y| > K) < \delta$$

Załóż dla uproszczenia, że:

• Współczynnik korelacji jest znany jako „wysoki”, powiedzmy: $\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} \geq 1 - \epsilon$

• $X,Y$ są równe zeru: $\mu_x = \mu_y = 0$

• $-1 \leq x_i, y_i \leq 1$ (lub $0 \leq x_i, y_i \leq 1$ jeśli to łatwiej)

• (Jeśli to ułatwia, powiedzmy $X,Y$ mają identyczną wariancję: $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$)

Nie jestem pewien, jak wykonalne jest określenie różnicy, biorąc pod uwagę tylko powyższe informacje (na pewno nigdzie nie dotarłem). Świetne byłoby konkretne rozwiązanie (jeśli istnieje), obowiązkowe dodatkowe ograniczenia do nałożenia na dystrybucje lub po prostu porady dotyczące podejścia.

Nawet bez tych uproszczonych założeń granicę można uzyskać, łącząc kilka zwykłych narzędzi:

• Wariancja różnicy dwóch skorelowanych zmiennych . Pozwala nam przekształcić problem dwóch zmiennych w problem jednowymiarowy.
• Nierówność Czebyszewa . Ogranicza to prawdopodobieństwo przekroczenia określonej wartości.

W szczegółach:

$$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·cov(X,Y)$$

$$cov(X,Y)=\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{XY}$$

$$\sigma^2_{X-Y}=\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}$$

Według nierówności Czebyszewa dla dowolnej zmiennej losowej $Z$:

$$\Pr(|Z-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$$

Następnie (i używając tego :$\mu_{X-Y}=\mu_X-\mu_Y)$

$$\Pr(|X-Y-\mu_X+\mu_Y|\geq k·\sqrt{\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y}}) \leq \frac{1}{k^2}$$

Możemy zastosować proponowane założenia upraszczające, aby uzyskać prostsze wyrażenie. Kiedy:

$$\rho_{X,Y}= {covar(X,Y)} / {\sigma_X \sigma_Y} = 1 - \epsilon$$ $$\mu_x = \mu_y = 0$$ $$\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 = \sigma^2$$

Następnie:

$$\sigma^2_X+\sigma^2_Y-2·\sigma_X·\sigma_Y·\rho_{X,Y} = 2·\sigma^2·(1-(1-\epsilon)) = 2\sigma^2\epsilon$$

I dlatego:

$$\Pr(|X-Y|\geq k·\sigma\sqrt{2\epsilon}) \leq \frac{1}{k^2}$$

Co ciekawe, wynik ten obowiązuje nawet wtedy, gdy nie jest mały, a jeśli warunek korelacji zmienia się z do , wynik się nie zmienia (ponieważ jest to już nierówność).$\epsilon$$=1-\epsilon$$\geq 1-\epsilon$