Empiryczny związek między średnią, medianą i trybem

40

W przypadku unimodalnego rozkładu, który jest umiarkowanie wypaczony, mamy następującą empiryczną zależność między średnią, medianą i trybem: Jak uzyskano ten związek?

(Mean - Mode)3(Mean - Median)

Czy Karl Pearson opracował tysiące takich relacji przed sformułowaniem takiego wniosku, czy też istnieje logiczna linia uzasadnienia tej relacji?

Sara
źródło

Odpowiedzi:

29

Oznacz średnią ( średnią), m medianę, σ odchylenie standardowe i M tryb. Na koniec niech X będzie próbką, realizacją ciągłego unimodalnego rozkładu F, dla którego istnieją dwa pierwsze momenty.μmσMXF

Dobrze to wiadomo

(1)|μm|σ

Jest to częste ćwiczenie z podręcznika:

|μm|=|E(Xm)|E|Xm|E|Xμ|=E(Xμ)2E(Xμ)2=σ
cE|Xc|F

(2)|mμ|0.6σ

Mmμ or Mmμ

(3)|μM|3σ

obowiązuje dla dowolnego unimodalnego, kwadratowego całkowania (niezależnie od pochylenia). Zostało to formalnie udowodnione w Johnson and Rogers (1951), chociaż dowód zależy od wielu pomocniczych lematów, które trudno tu dopasować. Idź zobacz oryginalny papier.


FμmMF

(4)F(mx)+F(m+x)1 for all x

μmMμm(4)(4)

(4)σ=1

3(mμ)(0,30.6] and Mμ(mμ,3]

0<mμ<33<σ=1(4)

  • [0]: Problem momentu dla dystrybucji unimodalnych. NL Johnson i CA Rogers. The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 22, nr 3 (wrzesień 1951), str. 433–439
  • [1]: Nierówność w średnim trybie mediany: kontrprzykłady Karim M. Abadir Teoria ekonometryczna, t. 21, nr 2 (kwiecień 2005), s. 477–482
  • [2]: WR van Zwet, średnia, mediana, tryb II, statystyki. Neerlandica, 33 (1979), s. 1–5.
  • [3]: Średnia, mediana i tryb rozkładów unimodalnych: charakterystyka. S. Basu i A. DasGupta (1997). Teoria Probab. Appl., 41 (2), 210–223.
  • [4]: Kilka uwag na temat średniej, mediany, trybu i skośności. Michikazu Sato. Australian Journal of Statistics. Tom 39, wydanie 2, strony 219–224, czerwiec 1997 r
  • [5]: PT von Hippel (2005). Mean, Mediana i Skew: poprawianie reguły podręcznika. Journal of Statistics Education Tom 13, nr 2.
użytkownik603
źródło
Przepraszam, jestem studentką matematyki na pierwszym roku. Czy możesz podać / polecić link / książkę / artykuł opisujący, w jaki sposób powstał związek?
Sara,
3
@Sara Myślę, że pochodzi on od Karla Pearsona, który wykorzystuje tę empiryczną relację do swojego „skośności w trybie Pearson”. Oprócz tego możesz znaleźć interesujący artykuł online, j.mp/aWymCv .
chl
Dziękuję chl i kwak za link i odpowiedź, którą podałeś. Będę je studiować.
Sara,
2
E|Xk|kX
1
|Mμ|3|μm|
9

Artykuł chl wskazuje na kilka ważnych informacji - pokazujących, że nie jest on zbliżony do ogólnej zasady (nawet dla ciągłych, gładkich, „ładnych” zmiennych, takich jak Weibull). Tak więc, chociaż może to być w przybliżeniu prawda, często tak nie jest.

Skąd więc pochodzi Pearson? Jak doszedł do tego przybliżenia?

Na szczęście Pearson sam mówi nam odpowiedź.

Pierwsze użycie terminu „pochylenie” w tym znaczeniu, w jakim go używamy, wydaje się być Pearson, 1895 [1] (pojawia się dokładnie w tytule). Wydaje się, że w tym dokumencie wprowadza on także termin tryb (przypis, s.345):

Uważam, że wygodne jest użycie terminu tryb odcięta odpowiadającego rzędnej maksymalnej częstotliwości. „Sposób”, „tryb” i „mediana” mają wszystkie odrębne znaki ważne dla statystyk.

Wydaje się również, że jest to jego pierwszy prawdziwy opis jego systemu krzywych częstotliwości .

Mówiąc o oszacowaniu parametru kształtu w rozkładzie Pearsona typu III (co teraz nazwalibyśmy przesuniętą - i być może odwróconą - gamma), mówi (p375):

p

>1

x

I rzeczywiście, jeśli spojrzymy na stosunek (tryb średni) do (średnia-mediana) dla rozkładu gamma, obserwujemy to:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

(Niebieska część oznacza region, w którym Pearson mówi, że zbliżenie jest rozsądne).

αβ

wprowadź opis zdjęcia tutaj

βα=kβααβααββ+α=cβ+ααβ

α>10

wprowadź opis zdjęcia tutaj

eμσ2,eμeμ+σ2/2

eμeσ2/2eσ2eσ2/21σ232σ212σ2σ2

Istnieje spora liczba dobrze znanych rozkładów - z których kilka zna Pearson - dla których jest to bliskie prawdy dla szerokiego zakresu wartości parametrów; zauważył to z rozkładem gamma, ale pomyślałby o tym, gdy przyjrzał się kilku innym rozkładom, które prawdopodobnie rozważyłby.

[1]: Pearson, K. (1895),
„Wkłady w matematyczną teorię ewolucji, II: Wariacja skośna w jednorodnym materiale”,
Transakcje filozoficzne Royal Society, seria A, 186, 343-414
[Brak praw autorskich. Tutaj dostępny bezpłatnie ]

Glen_b
źródło
4

Ten związek nie został wyprowadzony. Zauważono, że w przybliżeniu utrzymuje się empirycznie w pobliżu rozkładów symetrycznych . Patrz ekspozycja Yule'a we wstępie do teorii statystyki (1922), s. 121, rozdział VII sekcja 20. Przedstawia przykład empiryczny.

Aksakal
źródło
+1 Rzeczywiście, mój cytat z Pearson 1895 wskazuje, że jest to coś, co zauważył, a nie wyprowadził.
Glen_b
2
Stare teksty matematyczne są o wiele przyjemniejsze do czytania niż dzisiejsze pisanie
Aksakal