Empiryczny związek między średnią, medianą i trybem
40
W przypadku unimodalnego rozkładu, który jest umiarkowanie wypaczony, mamy następującą empiryczną zależność między średnią, medianą i trybem:
Jak uzyskano ten związek?
(Mean - Mode) ∼ 3(Średnia - mediana)
Czy Karl Pearson opracował tysiące takich relacji przed sformułowaniem takiego wniosku, czy też istnieje logiczna linia uzasadnienia tej relacji?
Oznacz średnią ( ≠ średnią), m medianę, σ odchylenie standardowe i M tryb. Na koniec niech X będzie próbką, realizacją ciągłego unimodalnego rozkładu F, dla którego istnieją dwa pierwsze momenty.μ≠mσM.XF
obowiązuje dla dowolnego unimodalnego, kwadratowego całkowania (niezależnie od pochylenia). Zostało to formalnie udowodnione w Johnson and Rogers (1951), chociaż dowód zależy od wielu pomocniczych lematów, które trudno tu dopasować. Idź zobacz oryginalny papier.
Fμ≤m≤MF
F(m−x)+F(m+x)≥1 for all x(4)
μ≤m≤Mμ≠m(4)(4)
(4)σ=1
3(m−μ)∈(0,30.6−−−√] and M−μ∈(m−μ,3–√]
0<m−μ<3√3<σ=1(4)
[0]: Problem momentu dla dystrybucji unimodalnych. NL Johnson i CA Rogers. The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 22, nr 3 (wrzesień 1951), str. 433–439
[1]: Nierówność w średnim trybie mediany: kontrprzykłady Karim M. Abadir Teoria ekonometryczna, t. 21, nr 2 (kwiecień 2005), s. 477–482
[2]: WR van Zwet, średnia, mediana, tryb II, statystyki. Neerlandica, 33 (1979), s. 1–5.
[3]: Średnia, mediana i tryb rozkładów unimodalnych: charakterystyka. S. Basu i A. DasGupta (1997). Teoria Probab. Appl., 41 (2), 210–223.
[4]: Kilka uwag na temat średniej, mediany, trybu i skośności. Michikazu Sato. Australian Journal of Statistics. Tom 39, wydanie 2, strony 219–224, czerwiec 1997 r
[5]: PT von Hippel (2005). Mean, Mediana i Skew: poprawianie reguły podręcznika. Journal of Statistics Education Tom 13, nr 2.
Przepraszam, jestem studentką matematyki na pierwszym roku. Czy możesz podać / polecić link / książkę / artykuł opisujący, w jaki sposób powstał związek?
Sara,
3
@Sara Myślę, że pochodzi on od Karla Pearsona, który wykorzystuje tę empiryczną relację do swojego „skośności w trybie Pearson”. Oprócz tego możesz znaleźć interesujący artykuł online, j.mp/aWymCv .
chl
Dziękuję chl i kwak za link i odpowiedź, którą podałeś. Będę je studiować.
Sara,
2
E|X−k|kX
1
|M−μ|≤3|μ−m|
9
Artykuł chl wskazuje na kilka ważnych informacji - pokazujących, że nie jest on zbliżony do ogólnej zasady (nawet dla ciągłych, gładkich, „ładnych” zmiennych, takich jak Weibull). Tak więc, chociaż może to być w przybliżeniu prawda, często tak nie jest.
Skąd więc pochodzi Pearson? Jak doszedł do tego przybliżenia?
Na szczęście Pearson sam mówi nam odpowiedź.
Pierwsze użycie terminu „pochylenie” w tym znaczeniu, w jakim go używamy, wydaje się być Pearson, 1895 [1] (pojawia się dokładnie w tytule). Wydaje się, że w tym dokumencie wprowadza on także termin tryb (przypis, s.345):
Uważam, że wygodne jest użycie terminu tryb odcięta odpowiadającego rzędnej maksymalnej częstotliwości. „Sposób”, „tryb” i „mediana” mają wszystkie odrębne znaki ważne dla statystyk.
Mówiąc o oszacowaniu parametru kształtu w rozkładzie Pearsona typu III (co teraz nazwalibyśmy przesuniętą - i być może odwróconą - gamma), mówi (p375):
p†
>1
†x
I rzeczywiście, jeśli spojrzymy na stosunek (tryb średni) do (średnia-mediana) dla rozkładu gamma, obserwujemy to:
(Niebieska część oznacza region, w którym Pearson mówi, że zbliżenie jest rozsądne).
Istnieje spora liczba dobrze znanych rozkładów - z których kilka zna Pearson - dla których jest to bliskie prawdy dla szerokiego zakresu wartości parametrów; zauważył to z rozkładem gamma, ale pomyślałby o tym, gdy przyjrzał się kilku innym rozkładom, które prawdopodobnie rozważyłby.
[1]: Pearson, K. (1895),
„Wkłady w matematyczną teorię ewolucji, II: Wariacja skośna w jednorodnym materiale”,
Transakcje filozoficzne Royal Society, seria A, 186, 343-414
[Brak praw autorskich. Tutaj dostępny bezpłatnie ]
Ten związek nie został wyprowadzony. Zauważono, że w przybliżeniu utrzymuje się empirycznie w pobliżu rozkładów symetrycznych . Patrz ekspozycja Yule'a we wstępie do teorii statystyki (1922), s. 121, rozdział VII sekcja 20. Przedstawia przykład empiryczny.
Artykuł chl wskazuje na kilka ważnych informacji - pokazujących, że nie jest on zbliżony do ogólnej zasady (nawet dla ciągłych, gładkich, „ładnych” zmiennych, takich jak Weibull). Tak więc, chociaż może to być w przybliżeniu prawda, często tak nie jest.
Skąd więc pochodzi Pearson? Jak doszedł do tego przybliżenia?
Na szczęście Pearson sam mówi nam odpowiedź.
Pierwsze użycie terminu „pochylenie” w tym znaczeniu, w jakim go używamy, wydaje się być Pearson, 1895 [1] (pojawia się dokładnie w tytule). Wydaje się, że w tym dokumencie wprowadza on także termin tryb (przypis, s.345):
Wydaje się również, że jest to jego pierwszy prawdziwy opis jego systemu krzywych częstotliwości .
Mówiąc o oszacowaniu parametru kształtu w rozkładzie Pearsona typu III (co teraz nazwalibyśmy przesuniętą - i być może odwróconą - gamma), mówi (p375):
I rzeczywiście, jeśli spojrzymy na stosunek (tryb średni) do (średnia-mediana) dla rozkładu gamma, obserwujemy to:
(Niebieska część oznacza region, w którym Pearson mówi, że zbliżenie jest rozsądne).
Istnieje spora liczba dobrze znanych rozkładów - z których kilka zna Pearson - dla których jest to bliskie prawdy dla szerokiego zakresu wartości parametrów; zauważył to z rozkładem gamma, ale pomyślałby o tym, gdy przyjrzał się kilku innym rozkładom, które prawdopodobnie rozważyłby.
[1]: Pearson, K. (1895),
„Wkłady w matematyczną teorię ewolucji, II: Wariacja skośna w jednorodnym materiale”,
Transakcje filozoficzne Royal Society, seria A, 186, 343-414
[Brak praw autorskich. Tutaj dostępny bezpłatnie ]
źródło
Ten związek nie został wyprowadzony. Zauważono, że w przybliżeniu utrzymuje się empirycznie w pobliżu rozkładów symetrycznych . Patrz ekspozycja Yule'a we wstępie do teorii statystyki (1922), s. 121, rozdział VII sekcja 20. Przedstawia przykład empiryczny.
źródło