Rozkład typu Gaussa z momentami wyższego rzędu

Dla rozkładu Gaussa o nieznanej średniej i wariancji wystarczające statystyki w standardowej postaci rodziny wykładniczej to . Mam rozkład, który ma , gdzie N jest trochę jak parametr projektowy. Czy istnieje odpowiedni znany rozkład dla tego rodzaju wystarczającego wektora statystyki? Potrzebuję próbek z tej dystrybucji, więc dla mnie bardzo ważne jest uzyskanie dokładnych próbek z tej dystrybucji. Wielkie dzięki. $T(x)=(x,x^2)$ $T(x)=(x,x^2,...,x^{2N})$

normal-distribution sampling exponential-family YBE
źródło

Czy próbowałeś zintegrować, aby znaleźć log-normalizator?

Neil G

Nie jest jasne, czy mówisz o chwilach, czy o wystarczających statystykach

Henry,

@NeilG, mam log-normalizator, który jest dość skomplikowaną rzeczą, naprawdę zastanawiam się, czy istnieje znany rozkład z takimi wystarczającymi statystykami,

YBE

@Henry, mówię o wystarczających statystykach, w pewnym sensie próbowałem dokonać analogii do przypadku gaussowskiego, gdzie wystarczająca statystyka x odpowiada średniej, a x ^ 2 odpowiada momentowi wariancji / drugiego rzędu.

YBE

@MichaelChernick: Aby uzyskać wystarczającą statystykę, miarę przewoźnika i wsparcie, możesz zintegrować wsparcie w celu znalezienia log-normalizatora. Jeśli log-normalizator jest skończony, to myślę, że rodzina istnieje. Zrobił to i pyta, czy ta rodzina ma imię.

Neil G

Odpowiedzi:

Jeśli zaczniesz od „wystarczającej” statystyki , możesz zdefiniować nieskończoną liczbę rozkładów. Mianowicie, dla każdej mierzalnej funkcji względem dowolnej miary w przestrzeni próbkowania, jest gęstością z rodziny wykładniczej i dla każdego próbki id z tej gęstości, statystyki jest wystarczające. Na przykład dla dowolnej mierzalnej funkcji można zdefiniować gęstość przez $T(x)$ $h(\cdot)$ $\text{d}\lambda$

f (x | θ) = \exp {θ \cdot T (x) - τ (θ)} h (x)

$f(x|\theta) = \exp\left\{ \theta\cdot T(x)-\tau(\theta) \right\} \,h(x)$

n

$n$

(x_{1}, \dots, x_{n})

$(x_1,\ldots,x_n)$

\sum_{i = 1}^{n} T (x_{i})

$\sum_{i=1}^n T(x_i)$

h

$h$

h (x) \exp {- (x - μ)^{2} / σ^{2}} / \int_{R} h (y) \exp {- (y - μ)^{2} / σ^{2}} d λ (y)

$h(x)\,\exp\{-(x-\mu)^2/\sigma^2\} \Big/ \int_{\mathbb{R}} h(y)\,\exp\{-(y-\mu)^2/\sigma^2\} \,\text{d}\lambda(y)$ co oznacza, że jest również wystarczające dla tego rozkładu.

T (x) = (x, x^{2})

$T(x)=(x,x^2)$

Dlatego każda para definiuje wykładniczą rodzinę, co oznacza, że twoje pytanie nie ma odpowiedzi. $(h,T)$

Xi'an
źródło