Załóżmy, że ma plik pdf
Gęstość próbki pobranej z tej populacji jest zatem
Estymator największego prawdopodobieństwa można uzyskać jako
Chcę wiedzieć, czy ograniczenie tego MLE jest normalne, czy nie.
Oczywiste jest, że wystarczająca statystyka dla na podstawie próbki to .
Powiedziałbym teraz, że MLE jest asymptotycznie normalny bez wątpienia, jeśli byłby członkiem zwykłej jednoparametrowej rodziny wykładniczej. Nie sądzę, żeby tak było, częściowo dlatego, że mamy dwuwymiarową wystarczającą statystykę dla jednowymiarowego parametru (jak na przykład w rozkładzie ).
Korzystając z faktu, że i są w rzeczywistości niezależnymi zmiennymi wykładniczymi, mogę wykazać, że dokładny rozkład jest taki, żeθ
Nie mogę stąd znaleźć ograniczenia dystrybucji.
Zamiast tego mogę argumentować przez WLLN, że i , tak że . θ
To mówi mi, że zbiega się w dystrybucji do . Nie jest to jednak niespodzianką, ponieważ jest „dobrym” estymatorem . Ten wynik nie jest wystarczająco silny, aby stwierdzić, czy coś takiego jak jest asymptotycznie normalne, czy nie. Nie mogłem też wymyślić rozsądnego argumentu za pomocą CLT. θ θ√
Pozostaje więc pytanie, czy rozkład macierzysty spełnia tutaj warunki regularności, aby rozkład ograniczający MLE był normalny.
Odpowiedzi:
Bezpośredni dowód na asymptotyczną normalność:
Prawdopodobieństwo dziennika jest tutaj
Pierwszą i drugą pochodną są
MLE spełniaθ^n
Zastosowanie rozszerzenia wartości średniej wokół wartości rzeczywistejθ0 którą mamy
dla niektórych pomiędzy aθ~n θ^n θ0 . Mamy zmiany w aranżacji,
Ale w naszym przypadku jednoparametrowym odwrotność jest tylko odwrotnością, więc wstawiając również specyficzne wyrażenia pochodnych,
Wariant sumy jest
Manipulując wyrażeniem, które możemy napisać, używającSn do sumy elementów iid,
Co więcej, mamy , więc . Mamy więc przedmiot klasycznego CLT i można sprawdzić, czy warunek Lindeberga jest spełniony. Wynika, żeE(xi−θ20yi)=0 E(Sn)=0
Ze względu na spójność estymatora mamy również
i przez Twierdzenie Słuckiego dochodzimy do
Miły. Podwój informacje, połowę wariancji (w porównaniu do przypadku, w którym oszacowalibyśmyθ0 na podstawie próbki z pojedynczej zmiennej losowej).
PS: Fakt, że w powyższych wyrażeniach pojawia się w mianowniku, wskazuje na komentarz @ whubera, że asymptotyczna normalność MLE wymaga, aby nieznany parametr znajdował się poza granicą przestrzeni parametrów (w naszym przypadku od zera).θ0
źródło