Gęstość Y = log (X) dla X rozproszonego gamma

To pytanie jest ściśle związane z tym postem

Załóżmy, że mam losową zmienną i zdefiniuję . Chciałbym znaleźć funkcję gęstości prawdopodobieństwa .$X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$$Y = \log(X)$$Y$

Początkowo myślałem, że po prostu zdefiniuję funkcję rozkładu skumulowanego X, dokonam zmiany zmiennej i wezmę „wnętrze” całki jako moją gęstość, podobnie jak

$$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$$

Tutaj używam i , a następnie sub w definicjach i w kategoriach .$y = \log x$xdx$dy = \frac{1}{x} dx$$x$$dx$$y$

Wyjście niestety nie integruje się z 1. Nie jestem pewien, gdzie jest mój błąd. Czy ktoś mógłby mi powiedzieć, gdzie jest mój błąd?

Napisz gęstość za pomocą wskaźników, aby uzyskać wyraźny obraz.

Jeśli$X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

$$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$$

$Y=g(X)=\log X$$X=h(Y)=e^Y$

$$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$$ $$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$$