Jakie są najostrzejsze znane granice ogon dla

Niech będzie rozkładem losowym zmiennej kwadratowej chi o stopniach swobody. Jakie są najostrzejsze znane granice następujących prawdopodobieństw $X \sim \chi^2_k$ $k$

P [X > t] \leq 1 - δ_{1} (t, k)

$\mathbb{P}[X > t] \leq 1 - \delta_1(t, k)$

P [X < z] \leq 1 - δ_{2} (z, k)

$\mathbb{P}[X < z] \leq 1 - \delta_2(z, k)$

gdzie i to niektóre funkcje. Docenione zostaną wskaźniki do odpowiednich artykułów. $\delta_1$ $\delta_2$

probability chi-squared mkolar
źródło

Jeśli zdefiniujesz delty jako uzupełniające niekompletne funkcje gamma, uzyskasz dokładne równości. Oczywiście są to najostrzejsze możliwe granice! Chyba chodzi o to, że twój kalkulator nie oblicza niepełnych gamma i szukasz przybliżenia, ale wciąż pomija podstawowe informacje: jak możemy odpowiedzieć na to pytanie, dopóki nie dowiemy się, co kalkulator może obliczyć?

whuber

Nie jestem zainteresowany obliczeniem górnej granicy, ale uzyskaniem czegoś, co mogę kontrolować analitycznie. Odpowiedź dostarczona przez Robina była dokładnie tym, czego szukałem. Pytanie brzmi, czy istnieją bardziej precyzyjne granice niż te podane przez Massarta i Laurenta?

mkolar,

Całki gamma można „kontrolować analitycznie”, więc jakie to rozróżnienie?

whuber

Odpowiedzi:

Najostrzejsza granica jaką znam to Massart i Laurent Lemma 1 p1325.

Następstwem ich związania jest:

P (X - k \geq 2 \sqrt{k x} + 2 x) \leq \exp (- x)

$P(X-k\geq 2\sqrt{kx}+2x)\leq \exp (-x)$

P (k - X \geq 2 \sqrt{k x}) \leq \exp (- x)

$P(k-X\geq 2\sqrt{kx})\leq \exp (-x)$

Robin Girard
źródło

druga nierówność wydaje się nieprawidłowa, czy coś mi brakuje?

mkolar,

@mkolar przepraszam za to, teraz poprawione

robin girard