Jak mam radzić sobie z paradoksem Borela?

Trochę niepokoi mnie to, jak mentalnie poradziłem sobie z paradoksem Borela i innymi powiązanymi „paradoksami” dotyczącymi prawdopodobieństwa warunkowego. Dla tych, którzy to czytają, ale nie znają tego, zobacz ten link . Do tej pory moja mentalna reakcja polegała głównie na ignorowaniu tego, ponieważ wydaje się, że nikt o tym nie mówi, ale uważam, że powinienem to naprawić.

Wiemy, że ten paradoks istnieje, a jednak wydaje się, że w praktyce (jako skrajny przykład, analiza bayesowska) doskonale radzimy sobie z uwarunkowaniem zdarzeń o miary ; jeśli X to moje dane, cały czas warujemy na X = x , nawet jeśli jest to zdarzenie o wymiarze 0, gdy X jest ciągłe. I z pewnością nie staramy się skonstruować sekwencji zdarzeń zbieżnych z wydarzeniem, które zaobserwowaliśmy, aby rozwiązać paradoks, przynajmniej nie wprost.$0$$X$$X = x$$0$$X$

Myślę, że jest to w porządku, ponieważ zasadniczo zmieniliśmy losową zmienną (w zasadzie) przed eksperymentem, więc uzależniamy się od σ ( X ) . Oznacza to, że σ ( X ) jest naturalną algebrą σ, od której zależy warunkowanie, ponieważ informacja X = x ma zostać wykorzystana przez X - gdyby przyszła do nas w inny sposób, uwarunkowalibyśmy inną algebrę σ . Paradoks Borela powstaje, ponieważ (jak sądzę) nie jest oczywiste, na jakiej warunce σ powinna się opierać, ale Bayesian określił $X$$\sigma(X)$$\sigma(X)$$\sigma$$X = x$$X$$\sigma$$\sigma$ . Ponieważ określamy z góry, że informacja X = x przyszła do nasza pomocą pomiaru X, jesteśmy w pełniprzekonani. Po określeniu σ -algebry wszystko jest w porządku; konstruujemy nasze warunkowe oczekiwania za pomocą Radon-Nikodym i wszystko jest unikalne do zera.$\sigma(X)$$X = x$$X$$\sigma$

Czy to w zasadzie ma rację, czy też jestem daleko? Jeśli jestem daleko, jakie jest uzasadnienie naszego zachowania? [Biorąc pod uwagę charakter pytań i odpowiedzi na tej stronie, traktuj to jako moje pytanie.] Kiedy wziąłem moje teoretyczne prawdopodobieństwo, z jakiegoś powodu nie rozumiem, nigdy nie dotknęliśmy warunkowych oczekiwań. W rezultacie obawiam się, że moje pomysły są bardzo zagmatwane.

Jako Bayesian powiedziałbym, że paradoks Borela nie ma (lub ma bardzo mało) związku ze statystykami Bayesa. Tyle że statystyki bayesowskie oczywiście używają rozkładów warunkowych. Fakt, że nie ma paradoksu w definiowaniu rozkładu bocznego jako warunku zestawu miar zerowych polega na tym, że x nie jest wybierane z góry, ale w wyniku obserwacji. Zatem jeśli chcemy zastosować egzotyczne definicje dla rozkładów warunkowych na zestawach miary zero, istnieje zerowa szansa, że ​​te zbiory będą zawierać $\{X=x\}$$x$$x$które ostatecznie zobaczymy. Rozkład warunkowy jest definiowany wyjątkowo prawie wszędzie i dlatego prawie na pewno dokonał naszej obserwacji. Jest to również znaczenie (świetnego) cytatu A. Kołmogorowa we wpisie na Wikipedii.

Punktem w analizie bayesowskiej, w którym subtelności teoretyczne mogą przekształcić się w paradoks, jest reprezentacja czynnika Bayesa przez Savage'a-Dickeya, ponieważ zależy ona od konkretnej wersji wcześniejszej gęstości (omówionej w naszym artykule na ten temat ...)