Warunki istnienia matrycy informacyjnej Fishera

Różne podręczniki przytaczają różne warunki istnienia matrycy informacyjnej Fishera. Kilka takich warunków wymieniono poniżej, z których każdy pojawia się w niektórych, ale nie we wszystkich, definicjach „matrycy informacji Fishera”.

1. Czy istnieje standardowy, minimalny zestaw warunków?
2. Z 5 poniższych warunków, które można usunąć?
3. Jeśli można spełnić jeden z warunków, dlaczego według niego został on uwzględniony?
4. Jeśli jeden z warunków nie może zostać usunięty, czy oznacza to, że te podręczniki, które go nie określiły, podały błędną, a przynajmniej niepełną definicję?

1. Zacks, Teoria wnioskowania statystycznego (1971), s. 1. 194.
   Macierz jest pozytywnie określona dla wszystkich θ ∈ Θ . $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish, Theory of Statistics (1997, corr. 2nd druk), Definition 2.78, str. 111
   Zestaw jest taki sam dla wszystkich θ . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Borovkov, Mathematical Statistics (1998). p. 147
   są stale różnicowalne wrt θ i . $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. Borovkov, Mathematical Statistics (1998). p. 147
   jest ciągły i odwracalny. $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. Gourieroux i Monfort, Statystyka i modele ekonometryczne, tom I (1995). Definicja (a), s. 81–82
   exist $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

Dla porównania, oto pełna lista warunków w Lehman & Cassella. Theory of Point Estimation (1998). p. 124 :

1. jest interwałem otwartym (skończonym, nieskończonym lub częściowo nieskończonym) $\Theta$
2. $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$

A oto pełna lista warunków w Barra, Notions fondamentales de statistique mathematique (1971). Definicja 1, str. 35 :

$\theta\in\Theta$$=0$

$\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

Nie mam dostępu do wszystkich odniesień, ale chciałbym zwrócić uwagę na kilka uwag dotyczących niektórych z was:

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• Trudno jest ustalić ogólne warunki istnienia FIM bez odrzucenia niektórych modeli, dla których FIM faktycznie istnieje. Na przykład warunek zróżnicowania nie jest warunkiem koniecznym dla istnienia FIM. Przykładem tego jest model podwójnego wykładniczego lub Laplace'a. Odpowiedni FIM jest dobrze zdefiniowany, ale gęstość nie jest podwójnie zróżnicowana w trybie. Niektóre inne modele, które można podwójnie różnicować, mają źle działający FIM i wymagają pewnych dodatkowych warunków (patrz ten artykuł ).

Możliwe jest określenie bardzo ogólnych wystarczających warunków, ale mogą one być zbyt surowe. Niezbędne warunki istnienia FIM nie zostały w pełni zbadane. Zatem odpowiedź na twoje pierwsze pytanie może nie być prosta.