Czy dystrybucja beta ma wcześniej koniugat?

34

Wiem, że rozkład beta jest sprzężony z dwumianowym. Ale jaki jest koniugat przed wersją beta? Dziękuję Ci.

Zuchwała równowaga
źródło

Odpowiedzi:

25

Wygląda na to, że już zrezygnowałeś z koniugacji. Dla przypomnienia, jedną z rzeczy, które widziałem, jak ludzie robią (ale nie pamiętam dokładnie, gdzie to jest, przepraszam) jest taka zmiana parametrów. Jeśli X1,,Xn są warunkowo iid, podane α,β , tak że Xiα,βBeta(α,β) , pamiętaj, że

E[Xiα,β]=αα+β=:μ
i W związku z tym można ponowniesparametryzowaćprawdopodobieństwo w μ i σ 2 i użyć jako wcześniej σ 2μ U [ 0 , μ ( 1 - μ ) ]
Var[Xiα,β]=αβ(α+β)2(α+β+1)=:σ2.
μσ2 Teraz jesteś gotowy, aby obliczyć tylną część i zbadać ją za pomocą swojej ulubionej metody obliczeniowej.
σ2μU[0,μ(1μ)]μU[0,1].
Zen
źródło
4
Nie, nie MCMC, ta rzecz! Kwadratura tej rzeczy! tylko 2 parametry - kwadratura jest „złotym standardem” dla małych wymiarów bocznych, zarówno pod względem czasu, jak i dokładności.
probabilityislogic
3
Inną opcją jest uznanie za miarę precyzji i ponowne użycie μ = αψ=α+β jako średnia. Odbywa się to cały czas za pomocą procesów Dirichleta, a dystrybucja beta jest szczególnym przypadkiem. Więc może rzuć gamma lub log-normal przedψi jednolicie naμ. μ=αα+βψμ
facet
2
Oczywiście, to nie jest sprzężone, prawda?
facet
3
Absolutnie nie!
Zen,
Cześć @Zen Mam teraz do czynienia z tym problemem, ale jestem nowy w Bayesian i nie jestem pewien, czy rozumiem ten pomysł. Doszedłem do wniosku, że proponujesz znaleźć a następnie użyj reparametryzacji, ale oczywiście nie o to chodziło. Czy możesz mi pomóc zrozumieć?011μ(1μdμ
Red Noise
23

Tak, ma wcześniej koniugat w rodzinie wykładniczej. Rozważ trzyparametrową rodzinę Dla niektórych wartości(a,b,p)jest to całkowalne, chociaż nie do końca zrozumiałem, które (uważam, żep0ia<0,b<0powinny działać -p=0odpowiada niezależnym rozkładom wykładniczym, więc to zdecydowanie działa, a aktualizacja sprzężona wymaga zwiększania

π(α,βa,b,p){Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)}pexp(aα+bβ).
(a,b,p)p0a<0,b<0p=0 więc sugeruje to ppp>0 works as well).

The problem, and at least part of the reason no one uses it, is that

00{Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)}pexp(aα+bβ)=?
i.e. the normalizing constant doesn't have a cloed form.
guy
źródło
Ach To jest problematyczne. W każdym razie zamierzałem wcześniej znaleźć nieinformacyjną wersję koniugatu, więc wygląda na to, że równie dobrze mógłbym zacząć od jednolitych priorytetów w stosunku do tych dwóch parametrów. Dzięki.
Brash Equilibrium,
Nie musisz go normalizować, jeśli porównujesz tylko prawdopodobieństwa…
Neil G
pexppaα
pexp, you just have to express things in terms of logΓ() instead of Γ(). Doing paα is just a reparmetrization, it changes nothing. Not sure what you mean "just comparing likelihoods". You can't implement a Gibbs sampler with this prior without using something like Metropolis, which kills the advantage of conditional conjugacy, the normalizing constant depends on a and b which kills putting a prior on them or estimating them by likelihood methods, etc...
guy
2
@NeilG integral is over α and β since those are the random variables.
guy
9

In theory there should be a conjugate prior for the beta distribution. This is because

However the derivation looks difficult, and to quote A Bouchard-Cote's Exponential Families and Conjugate Priors

An important observation to make is that this recipe does not always yields a conjugate prior that is computationally tractable.

Consistent with this, there is no prior for the Beta distribution in D Fink's A Compendium of Conjugate Priors.

TooTone
źródło
3
The derivation is not difficult — See my answer: mathoverflow.net/questions/63496/…
Neil G
3

I do not believe there is a "standard" (i.e., exponential family) distribution that is the conjugate prior for the beta distribution. However, if one does exist it would have to be a bivariate distribution.


źródło
I have no idea about this question, but I did find this handy conjugate prior map that seems to support your answer: johndcook.com/conjugate_prior_diagram.html
Justin Bozonier
The conjugate prior is in the exponential family and has three parameters — not two.
Neil G
1
@Neil, you are definitely right. I guess I should have said it would have to have at least two parameters.
-1: this answer is clearly wrong in the claim that "conjugate prior does not exist in the exponential family", as is demonstrated in the answer above...
Jan Kukacka
3

Robert and Casella (RC) happen to describe the family of conjugate priors of the beta distribution in Example 3.6 (p 71 - 75) of their book, Introducing Monte Carlo Methods in R, Springer, 2010. However, they quote the result without citing a source.

Added in response to gung's request for details. RC state that for distribution B(α,β), the conjugate prior is "... of the form

π(α,β){Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)}λx0αy0β

where {λ,x0,y0} are hyperparameters, since the posterior is then equal to

π(α,β|x){Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)}λ(xx0)α((1x)y0)β."

The remainder of the example concerns importance sampling from π(α,β|x) in order to compute the marginal likelihood of x.

user37239
źródło
2
I don't have Robert's book available but the posterior is π(α,β)(Γ(α+β)Γ(α)Γ(β))λ+1(xx0)α1(y0(1x))β1. Robert also posted on this topic here mathoverflow.net/questions/20399/…
Fred Schoen
1
Pokornie zalecam, aby oryginalny plakat zaktualizował pocztę, aby wskazać, że podany w podręczniku plakat jest nieprawidłowy, zgodnie z komentarzem Freda Schoena (który można łatwo zweryfikować).
RMurphy