Wykładnicza ruchoma skośność / kurtoza

15

Istnieją dobrze znane wzory online do obliczania wykładniczo ważonych średnich kroczących i standardowych odchyleń procesu (xn)n=0,1,2, . Dla średniej

μn=(1α)μn1+αxn

i dla wariancji

σn2=(1α)σn12+α(xnμn1)(xnμn)

z którego można obliczyć odchylenie standardowe.

Czy istnieją podobne wzory do obliczania on-line ważonych wykładniczo momentów trzeciego i czwartego środkowego momentu? Moją intuicją jest to, że powinny one przybrać formę

M3,n=(1α)M3,n1+αf(xn,μn,μn1,Sn,Sn1)

i

M4,n=(1α)M4,n1+αf(xn,μn,μn1,Sn,Sn1,M3,n,M3,n1)

z którego można było obliczyć skośność i kurtozę k n = M 4 , n / σ 4 n, ale nie byłem w stanie znaleźć prostego wyrażenia o zamkniętej formie dla funkcji f i g .γn=M3,n/σn3kn=M4,n/σn4fg


Edycja: Więcej informacji. Aktualizacja formuły dla wariancji ruchomej jest szczególnym przypadkiem formuły kowariancji ruchomej ważonej wykładniczo, którą można obliczyć za pomocą

Cn(x,y)=(1α)Cn1(x,y)+α(xnx¯n)(yny¯n1)

gdzie i ˉ y n są wykładniczymi ruchomymi środkami x i y . Asymetria pomiędzy X i Y jest iluzoryczne i znika, gdy zauważy że Y - ˉ y n = ( 1 - α ) ( Y - ˉ y n - 1 )x¯ny¯nxyxyyy¯n=(1α)(yy¯n1) .

Takie wzory można obliczyć, pisząc moment centralny jako oczekiwanie , gdzie wagi w oczekiwaniu są rozumiane jako wykładnicze i wykorzystując fakt, że dla dowolnej funkcji f ( x ) mamyEn()f(x)

En(f(x))=αf(xn)+(1α)En1(f(x))

Łatwo jest wyprowadzić formuły aktualizujące średnią i wariancję za pomocą tej relacji, ale okazuje się, że jest trudniejsza w trzecim i czwartym centralnym momencie.

Chris Taylor
źródło

Odpowiedzi:

6

Formuły są proste, ale nie są tak proste, jak sugerowano w pytaniu.

Niech być poprzedniego EWMA i niech x = x n , co może mieć niezależne od Y . Z definicji nowa średnia ważona to Z = α X + ( 1 - α ) Y dla stałej wartości α . Dla wygody notacji ustaw β = 1 - α . Niech F oznacza CDF zmiennej losowej, a ϕ oznacza jej funkcję generowania momentu , tak żeYX=xnYZ=αX+(1α)Yαβ=1αFϕ

ϕX(t)=EF[exp(tX)]=Rexp(tx)dFX(x).

W przypadku Kendall i Stuart niech oznacza niecentralny moment rzędukdla zmiennej losowejZ; to znaczyμμk(Z)kZμk(Z)=E[Zk] . Asymetrii i kurtozy to wyrazić w kategoriach dlak=1,2,3,4; Na przykład, współczynnik asymetrii jest zdefiniowana jakoμ3/μ 3 / 2μkk=1,2,3,4 gdzieμ3/μ23/2

μ3=μ33μ2μ1+2μ13 and μ2=μ2μ12

są odpowiednio trzecim i drugim centralnym momentem.

Według standardowych wyników elementarnych

1+μ1(Z)t+12!μ2(Z)t2+13!μ3(Z)t3+14!μ4(Z)t4+O(t5)=ϕZ(t)=ϕαX(t)ϕβY(t)=ϕX(αt)ϕY(βt)=(1+μ1(X)αt+12!μ2(X)α2t2+)(1+μ1(Y)βt+12!μ2(Y)β2t2+).

To obtain the desired non-central moments, multiply the latter power series through fourth order in t and equate the result term-by-term with the terms in ϕZ(t).

whuber
źródło
I am having some formula visualization problem, possibly whenever a ' is used, with both IE and Firefox, would you please care checking? Thanks!
Quartz
1
@Quartz Thanks for the heads up. This used to display properly, so evidently there has been some change in the processing of the TEX markup. I found a workaround by enclosing all single quotes within braces. (This change has probably broken a few dozen posts on this site.)
whuber
0

I think that the following updating formula works for the third moment, although I'd be glad to have someone check it:

M3,n=(1α)M3,n1+α[xn(xnμn)(xn2μn)xnμn1(μn12μn) μn1(μnμn1)23(xnμn)σn12]

Updating formula for the kurtosis still open...

Chris Taylor
źródło
Why the ... in the above formula?
Chris
Line continuation.
Chris Taylor
Did your equation prove to be correct? I asked a similar question in R. stats.stackexchange.com/q/234460/70282
Chris
Did you account for the division by N in the third moment? Skewness is the ratio of the 3rd moment and the standard deviation^3 like so: Skew = m3 / sqrt(variance)^3 The third moment is defined as: m3 = sum( (x-mean)^3 )/n
Chris