Kiedy funkcja rozkładu dwumianowego jest powyżej / poniżej ograniczającej funkcji rozkładu Poissona?

Niech oznacza dwumianową funkcję rozkładu (DF) o parametrach i obliczonych przy : i niech oznacza Poissona DF z parametrem obliczonym dla : $B(n,p,r)$ $n \in \mathbb N$ $p \in (0,1)$ $r \in \{0,1,\ldots,n\}$

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

Rozważmy i niech będzie zdefiniowane jako , gdzie jest stałą rzędu . Ponieważ , funkcja zbieżna z dla wszystkich , co jest dobrze znane. $p \rightarrow 0$ $n$ $\lceil a/p-d \rceil$ $d$ $1$ $np \rightarrow a$ $B(n,p,r)$ $F(a,r)$ $r$

Z powyższą definicją dla , jestem zainteresowany określeniem wartości dla którego i podobnie te, dla których I był w stanie wykazać, że pierwszy nierówność na dostatecznie mniejsza niż ; Dokładniej, na niższa od pewnej związanego , z . Podobnie, druga nierówność za dostatecznie większej niż , czyli dla $n$ $a$

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$

a

$a$

r

$r$

a

$a$

g (r)

$g(r)$

g (r) < r

$g(r)<r$

a

$a$

r

$r$

a

$a$ większa niż pewna związana

h (r)

$h(r)$ , przy

h (r) > r

$h(r)>r$ . (Do wyrażenia granicach

g (r)

$g(r)$ i

h (r)

$h(r)$ są nieistotne tutaj. Będę podać szczegóły, aby każdy zainteresowany.) Jednakże, wyniki liczbowe wskazują, że te nierówności przytrzymać przez mniej rygorystycznych granic, czyli dla bliżej

niż mogę udowodnić.

a

$a$

r

$r$

Chciałbym więc wiedzieć, czy istnieje jakieś twierdzenie lub wynik, które określają, w jakich warunkach utrzymuje się każda nierówność (dla wszystkich $p$ ); to znaczy, gdy dwumianowy DF jest gwarantowany powyżej / poniżej ograniczającego Poissona DF. Jeśli takie twierdzenie nie istnieje, każdy pomysł lub wskaźnik we właściwym kierunku byłby mile widziany.

Należy pamiętać, że podobne pytanie, sformułowane jako niepełne funkcje beta i gamma, zostało opublikowane na stronie math.stackexchange.com, ale nie otrzymano odpowiedzi.

binomial poisson-distribution convergence probability-inequalities Luis Mendo
źródło

To interesujące pytanie, choć myślę, że pomogłoby to wyjaśnić kilka rzeczy, szczególnie te, które są „częściami ruchomymi”, a które nie. Wygląda na to, że potrzebujesz granicy, która trzyma się równomiernie w dla każdego ustalonego . Ale jaka jest tutaj rola ? Nie powinno to mieć większego znaczenia, ale czy wprowadzenie jest konieczne? Jednym z podejść może być spojrzenie na rzeczy w kategoriach czasów oczekiwania procesu Poissona i powiązanie ich z powiązanymi geometrycznymi czasami oczekiwania (poprzez ustalenie górnego pułapu każdego) dla dwumianowej zmiennej losowej. Ale to może nie dać jednolitej granicy, której szukasz.

p

$p$

r

$r$

d

$d$

kardynał

@cardinal Dziękujemy za poświęcenie czasu. Tak, chcę, aby granica była jednolita w p. Wszystkie pozostałe parametry są stałe (ale do wyboru). jest tylko jednym z takich bezpłatnych parametrów. Na przykład jeden hipotetyczny wynik może wyglądać następująco: „Dla każdego naturalnego większego niż i dowolnego pierwsza nierówność obowiązuje dla wszystkich i dla wszystkich ; a drugi dotyczy wszystkich i wszystkich .

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

Luis Mendo

Istnieje teoria steina chen, która szacuje błędy, gdy używasz poissona rv do oszacowania sumy niepotrzebnych niezależnych zmiennych bernoulli. Nie jestem pewien co do twojego pytania.

Lost1

Dla skończonego rozkład dwumianowy ma zamknięte wsparcie z góry. Jego rozmiar można wybrać (wybierając ), ale jest on zamknięty. Z drugiej strony dystrybucja Poissona ma nieograniczone wsparcie. Ponieważ patrzymy na CDF, dla każdego skończonego zawsze będziemy mieć dla dowolnych dopuszczalnych wartości . Tak więc warunki dla drugiej nierówności, jakiej wymaga OP, zawsze będą obejmować co najmniej „dla ...”

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

r < n

$r<n$

Alecos Papadopoulos

Zobacz odpowiedź Did tutaj: math.stackexchange.com/questions/37018/…

Alex R.,

Kiedy funkcja rozkładu dwumianowego jest powyżej / poniżej ograniczającej funkcji rozkładu Poissona?

Odpowiedzi: