Jak dopasować krzywą, jak obliczyć 95% przedział ufności dla moich dopasowanych parametrów?

Dopasowuję krzywe do moich danych, aby wyodrębnić jeden parametr. Nie jestem jednak pewien, jaka jest pewność tego parametru i jak obliczyć / wyrazić jego % przedział ufności.$95$

Powiedzmy, że dla zestawu danych zawierającego dane, które wykładniczo zanika, dopasowuję krzywą do każdego zestawu danych. Informacje, które chcę wyodrębnić, to wykładnik . Znam wartości wartość , która mnie nie interesuje (to zmienna pochodząca z populacji, a nie z procesu, który próbuję wymodelować).t $b$$t$$a$

Używam regresji nieliniowej, aby dopasować te parametry. Jednak nie wiem, jak obliczyć % przedział ufności dla dowolnej metody, więc szersze odpowiedzi są również mile widziane.$95$

Kiedy mam wartość , jak obliczyć jej % przedział ufności? Z góry dziękuję!$b$$95$

Problem z linearyzacją, a następnie zastosowaniem regresji liniowej polega na tym, że założenie rozkładu reszt Gaussa prawdopodobnie nie będzie prawdziwe dla przekształconych danych.

Zazwyczaj lepiej jest zastosować regresję nieliniową. Większość programów regresji nieliniowej zgłasza błąd standardowy i przedział ufności parametrów najlepiej dopasowanych. Jeśli twoje nie, te równania mogą pomóc.

Każdy błąd standardowy jest obliczany przy użyciu tego równania:

SE(Pi) = sqrt[ (SS/DF) * Cov(i,i) ]

• Pi: i-ty regulowany (niestały) parametr
• SS: suma kwadratów reszt
• DF: stopnie swobody (liczba punktów danych minus liczba parametrów dopasowanych przez regresję)
• Cov (i, i): i-ty element diagonalny macierzy kowariancji
• sqrt (): pierwiastek kwadratowy

A oto równanie do obliczenia przedziału ufności dla każdego parametru na podstawie najlepiej dopasowanej wartości, jego błędu standardowego i liczby stopni swobody.

From [BestFit(Pi)- t(95%,DF)*SE(Pi)]  TO  [BestFit(Pi)+
 t(95%,DF)*SE(Pi)] 

• BestFit (Pi) to najlepsza wartość dopasowania dla i-tego parametru
• t jest wartością z rozkładu t dla 95% ufności dla określonej liczby DF.

• DF to stopnie swobody.

  Przykład z programem Excel dla 95% pewności (więc alfa = 0,05) i 23 stopni swobody: = TINV (0,05, 23) DF równa się stopni swobody (liczba punktów danych minus liczba parametrów dopasowanych przez regresję)

Jeśli uważasz, że odpowiednim modelem dla Twoich danych jest:

$f = ae^{-bt}$

Następnie możesz przekształcić dane odpowiedzi w dziennik, tak aby odpowiedni model to:

$f' = a' -bt$

w , a . Przekształcone dane można dopasować za pomocą prostej regresji liniowej i oszacowania punktu przecięcia i nachylenia wraz z uzyskanymi standardowymi błędami. Jeśli krytyczna wartość t i błąd standardowy zostaną zastosowane do oszacowania parametru, można utworzyć przedział ufności dla tego oszacowania parametru. W R:a ′ = l n ( a $f' = ln(f)$$a' = ln(a)$

# Rough simulated data set.
set.seed(1)
a <- 50; b <- 0.2; n <- 25
x <- 1:n
y <- a*(exp(-b * x))
y <- y + rnorm(n, sd=0.25)
y <- ifelse(y>0, y, 0.1)
plot(x,y)

# Linearise:
y2 <- log(y)
plot(x,y2)

# Fit model to transformed data
model <- lm(y2 ~ x)
summary(model)
confint(model)

# Or:
param <- summary(model)$coefficients[, 1]; se <- summary(model)$coefficients[, 2]
param + qt(0.975, 23) * se
param - qt(0.975, 23) * se

Jeśli używasz modelu do przewidywania, upewnij się, że spełnione zostały założenia SLR - iid .$~N(0,\sigma^2)$