Przygotowuję się do rozmowy kwalifikacyjnej, która wymaga przyzwoitej wiedzy na temat podstawowego prawdopodobieństwa (przynajmniej aby przejść przez sam wywiad). Pracuję nad poniższym arkuszem z moich dni studenckich jako wersją. W większości było to dość proste, ale jestem całkowicie zaskoczony pytaniem 12.
http://www.trin.cam.ac.uk/dpk10/IA/exsheet2.pdf
Każda pomoc będzie mile widziana.
Edycja: pytanie brzmi:
Załóżmy, że są niezależnymi identycznie rozmieszczonymi dodatnimi losowymi zmiennymi z i . Niech . Pokaż, że gdy , i gdy .
W rzeczywistości, w trakcie pisania tego, rozwiązałem drugą część.
Dla ,
a licznik i mianownik powyższego stosunku są wyraźnie niezależne, więc:
i uzyskujemy pożądany rezultat.
Nadal utknąłem w pierwszej części.
probability
self-study
random-variable
Władca Szpiega
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Spotting, aby dodać identycznych kopii jest bardzo sprytny! Ale niektórzy z nas nie są tacy sprytni, więc miło jest móc „odłożyć” Wielki Pomysł na etap, na którym bardziej oczywiste jest, co robić. Nie wiedząc od czego zacząć, wydaje się, że istnieje wiele wskazówek, że symetria może być naprawdę ważna (dodawanie jest symetryczne i mamy pewne podsumowania, a zmienne iid mają takie same oczekiwania, więc może można je zamienić lub zmienić ich nazwy w użyteczny sposób). W rzeczywistości „twardym” fragmentem tego pytania jest sposób radzenia sobie z podziałem, operacją, która nie jest symetryczna. Jak możemy wykorzystać symetrię sumowania? Z liniowości oczekiwań mamy:n Sm/Sn
Ale z uwagi na symetrię, biorąc pod uwagę, że to iid i , wszystkie warunki po prawej stronie są takie same! Dlaczego? Zamień etykiety i na . Dwa terminy w pozycji przełącznika mianownika, ale po zmianie kolejności nadal do , podczas gdy licznik zmienia się z na . Więc . Napiszmy dla a ponieważ istnieje takich terminów, mamy .Xi m≤n Xi Xj i,j≤n Sn Xi Xj E(Xi/Sn)=E(Xj/Sn) E(Xi/Sn)=k 1≤i≤n m E(Sm/Sn)=mk
Wygląda na to, że co dałoby poprawny wynik. Ale jak to udowodnić? Wiemyk=1/n
Dopiero na tym etapie dotarło do mnie, że powinienem je dodać, aby uzyskać
Zaletą tej metody jest to, że zachowuje jedność dwóch części pytania. Przyczyną złamania symetrii, wymagającą korekty, gdy , jest to, że warunki po prawej stronie po zastosowaniu liniowości oczekiwań będą dwojakiego rodzaju, w zależności od tego, czy w liczniku leży w sumie w mianowniku. (Tak jak poprzednio, mogę zmienić etykiety i jeśli oba pojawiają się w mianowniku, ponieważ to po prostu zmienia kolejność , lub jeśli nie robi tego, ponieważ wyraźnie pozostawia to niezmienioną sumę, ale jeśli tak, a jeden nie, to jeden warunków w mianowniku zmienia się i nie sumuje się już z .) Dla mamym>n Xi Xi Xj Sn Sn i≤n E(XiX1+....+Xn)=k a dla mamy , powiedzmy. Ponieważ mamy pierwszych terminów i tych drugich,i>n E(XiX1+....+Xn)=r n m−n
Zatem znalezienie jest proste przy użyciu niezależności i dla :r S−1n Xi i>n r=E(XiS−1n)=E(Xi)E(S−1n)=μE(S−1n)
Tak więc ta sama „sztuczka” działa dla obu części, polega tylko na rozpatrzeniu dwóch przypadków, jeśli . Podejrzewam, że właśnie dlatego dwie części pytania zostały podane w tej kolejności.m>n
źródło
Dzięki whuber za podpowiedź do pierwszej części.
Rozważmy dla przypadkunSm/Sn m<=n
MamyE(nSm/Sn)=E((nX1+...+nXm)/(X1+...+Xn))
a przez właściwość iid jest to równe:
Dlatego dlaE(Sm/Sn)=m/n m<=n
źródło