Niezbędny i wystarczający warunek wspólnego MGF dla niezależności

Załóżmy, że mam funkcję generującą moment połączony dla wspólnego rozkładu z CDF . Czy jest koniecznym i wystarczającym warunkiem niezależności i ? Sprawdziłem kilka podręczników, w których wspomniałem tylko o konieczności: $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Ten wynik jest oczywisty, ponieważ niezależność implikuje . Ponieważ MGF marginesów są określone przez wspólną MGF, mamy: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Ale po przeszukaniu Internetu znalazłem tylko przelotne odniesienie, bez dowodu, do rozmowy . Czy wykonalny jest poniższy szkic?

Biorąc pod uwagę wspólne MGF , to jednoznacznie określa krańcowe rozkłady i i ich MGF, i . Same marginesy są kompatybilne z wieloma innymi możliwymi rozkładami połączeń i jednoznacznie określają rozkład połączeń, w którym i są niezależne, z CDF i MGF: $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Więc jeśli otrzymamy, dla naszego oryginalnego MGF, że , to jest to wystarczające, aby pokazać . Następnie, dzięki wyjątkowości MGF, nasza pierwotna wspólna dystrybucja ma oraz i są niezależne. $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

probability independence joint-distribution mgf Silverfish
źródło

Odpowiedzi:

Tak, jest to niezbędny i wystarczający warunek niezależności nie tylko dla dwóch zmiennych losowych, ale także dla (skończonej) sekwencji zmiennych losowych. Sprawdź na przykład P.2 na stronie 242 Prawdopodobieństwa z zastosowaniami statystycznymi , autor: Rinaldo B. Schinazi. Lub strona 259 ekonometrycznej analizy danych zliczania, która jest oparta na funkcji generowania prawdopodobieństwa. Pamiętaj tylko, że „funkcja generowania momentu nie zawsze istnieje”.

Stat
źródło

Dzięki za solidne referencje. Tak, starałem się stwierdzić, że oryginalny MGF został podany na początku i starałem się pamiętać, aby wykazać, że jakikolwiek inny MGF, o którym mówiłem, istniał w konsekwencji, zanim cokolwiek z tym zrobiłem! Jakie strategie dowodowe zastosowano w twoich referencjach?

Silverfish,

Czy czytałeś akapit tuż po P2 w moim pierwszym źródle?

Stat

Ach tak - jest to rozszerzenie mojego sugerowanego dowodu na wektory. Porównaj MGF danego rozkładu z MGF, jeżeli składniki były niezależne; ponieważ są one takie same, a MGF jednoznacznie określają rozkład połączeń, rozkład połączeń jest niezależny.

Silverfish,