Jaka jest mediana niecentralnego rozkładu t?

Odpowiedzi:

11

Możesz to przybliżyć.

Na przykład, wykonałem następujące nieliniowe dopasowania dla (stopnie swobody) od 1 do 20 i δ (parametr niecentryczności) od 0 do 5 (w krokach 1/2). Pozwolićνδ

za(ν)=0,963158+0,051726ν-0,705428+0,0112409log(ν),

b(ν)=-0,0214885+0,4064190,659586+ν+0,00531844log(ν),

i

sol(ν,δ)=δ+za(ν)exp(b(ν)δ)-1.

Następnie szacuje medianę w granicach 0,15 dla ν = 1 , 0,03 dla ν =solν=1 , 0,015 dla ν = 3 , i 0,007 dla ν = 4 , 5 , , 20 .ν=2)ν=3)ν=4,5,,20

Ocenę przeprowadzono przez obliczenie wartości i B dla każdej wartościzab od 1 do 20, a następnie oddzielnie montażui B do v . I zbadano wykresyi b , aby określić odpowiednią formę funkcjonalną tych pasowań.νzabνzab

Możesz zrobić to lepiej, skupiając się na interwałach tych parametrów, które Cię interesują. W szczególności, jeśli nie interesują Cię naprawdę małe wartości możesz łatwo poprawić te szacunki, prawdopodobnie w granicach 0,005.ν

Oto wykresy mediany funkcji dla ν = 1 , najtrudniejszy przypadek i ujemne wartości resztkowe (prawdziwa mediana minus wartość przybliżona) w porównaniu do δ :δν=1 δ

Środkowa t mediana, delta od 0 do 5, nu = 1

Reszty niecentralne t mediany, delta od 0 do 5, nu = 1

Resztki są naprawdę małe w porównaniu do median.

BTW, dla wszystkich oprócz najmniejszych stopni swobody mediana jest zbliżona do parametru niecentryczności. Oto wykres mediany dla od 0 do 5 i ν (traktowane jako rzeczywisty parametr) od 1 do 20.δν

Środkowa t mediana w stosunku do nu i delty (w pseudo 3D)

Do wielu celów za pomocą δ do oszacowania mediany może być wystarczające. Oto wykres błędu (w stosunku do ) popełnionego przy założeniu, że mediana jest równa δ (dla ν od 2 do 20).δδν

(Mediana - delta) / delta kontra delta i nu

Whuber
źródło
3
+1, super. Jak wymyśliłeś funkcjonalną formę dla ?sol
mpiktas
1
@mpiktas Kombinacja patrzenia na formuły dla CDF i wykreślania median kontra . Wykładniczy, z dwoma parametrami, faktycznie pasuje tak samo jak kwadratowy wielomian (z trzema parametrami). ν
whuber
5

Jeśli jesteś zainteresowany (stopniami swobody) ν> 2, następujące wyrażenie asymptotyczne [pochodzące z przybliżenia interpolacyjnego do niecentralnego kwantyla ucznia-t, DL Bartley, Ann. Okupować Hyg., Tom. 52, 2008] jest wystarczająco dokładny do wielu celów:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Przy ν> 2 maksymalna wartość odchylenia powyższego wyrażenia w stosunku do niecentralnej mediany t-studenta wynosi około 2% i szybko spada wraz ze wzrostem ν. Schemat konturowy pokazuje odchylenie asymptotycznego przybliżenia w stosunku do niecentralnej mediany student-t:

David Bartley
źródło