Jaka jest mediana niecentralnego rozkładu t?

Jaka jest mediana niecentralnego rozkładu t z parametrem niecentralności ? To może być beznadziejne pytanie, ponieważ CDF wydaje się być wyrażony jako nieskończona suma i nie mogę znaleźć żadnych informacji o odwrotnej funkcji CDF.$\delta \ne 0$

Możesz to przybliżyć.

Na przykład, wykonałem następujące nieliniowe dopasowania dla (stopnie swobody) od 1 do 20 i δ (parametr niecentryczności) od 0 do 5 (w krokach 1/2). Pozwolić$\nu$$\delta$

$$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$$

$$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$$

i

$$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$$

Następnie szacuje medianę w granicach 0,15 dla ν = 1 , 0,03 dla ν $g$$\nu=1$ , 0,015 dla ν = 3 , i 0,007 dla ν = 4 , 5 , … , 20 .$\nu=2$$\nu=3$$\nu = 4, 5, \ldots, 20$

Ocenę przeprowadzono przez obliczenie wartości i B dla każdej wartości$a$$b$ od 1 do 20, a następnie oddzielnie montażui B do v . I zbadano wykresyi b , aby określić odpowiednią formę funkcjonalną tych pasowań.$\nu$$a$$b$$\nu$$a$$b$

Możesz zrobić to lepiej, skupiając się na interwałach tych parametrów, które Cię interesują. W szczególności, jeśli nie interesują Cię naprawdę małe wartości możesz łatwo poprawić te szacunki, prawdopodobnie w granicach 0,005.$\nu$

Oto wykresy mediany funkcji dla ν = 1 , najtrudniejszy przypadek i ujemne wartości resztkowe (prawdziwa mediana minus wartość przybliżona) w porównaniu do δ :$\delta$$\nu=1$ $\delta$

Resztki są naprawdę małe w porównaniu do median.

BTW, dla wszystkich oprócz najmniejszych stopni swobody mediana jest zbliżona do parametru niecentryczności. Oto wykres mediany dla od 0 do 5 i ν (traktowane jako rzeczywisty parametr) od 1 do 20.$\delta$$\nu$

Do wielu celów za pomocą $\delta$ do oszacowania mediany może być wystarczające. Oto wykres błędu (w stosunku do ) popełnionego przy założeniu, że mediana jest równa δ (dla ν od 2 do 20).$\delta$$\delta$$\nu$

Jeśli jesteś zainteresowany (stopniami swobody) ν> 2, następujące wyrażenie asymptotyczne [pochodzące z przybliżenia interpolacyjnego do niecentralnego kwantyla ucznia-t, DL Bartley, Ann. Okupować Hyg., Tom. 52, 2008] jest wystarczająco dokładny do wielu celów:

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

Przy ν> 2 maksymalna wartość odchylenia powyższego wyrażenia w stosunku do niecentralnej mediany t-studenta wynosi około 2% i szybko spada wraz ze wzrostem ν. Schemat konturowy pokazuje odchylenie asymptotycznego przybliżenia w stosunku do niecentralnej mediany student-t: