Rozkład sumy kwadratów zmiennych losowych o rozkładzie T.

11

Patrzę na rozkład sumy kwadratów zmiennych losowych o rozkładzie T, z wykładnikiem ogona α . Gdzie X jest rv, transformata Fouriera dla X2 , F(t) daje mi rozwiązanie dla kwadratu przed splotem F(t)n .

F(t)=0exp(itx2)((αα+x2)α+12α B(α2,12))dx

Przy α=3 rozwiązanie jest możliwe, ale niewygodne i niemożliwe do odwrócenia, aby wykonać odwrotną Fouriera dla F(t)n . Pytanie brzmi: czy wykonano prace nad rozkładem wariancji próbki lub odchyleniem standardowym zmiennych losowych o rozkładzie T? (Byłoby to dla Student T, czym jest Chi-kwadrat dla Gaussa). Dziękuję Ci.

(Możliwe rozwiązanie) Doszedłem do wniosku, że X2 jest rozkładem Fishera F(1,α) , stąd przyjrzymy się sumie zmiennych rozproszonych Fishera.

nX2F(n,α)

g(u)=2αα/2nn/2un1(α+nu2)α2n2B(n2,α2)
Nero
źródło
1
T2FF(1,α)

Odpowiedzi:

7

n tαtα

tα

Titαtαi=1nTi2F(n,α)n

Ti2F(1,α)tZU/αZUαZV/1U/αV=Z2F(1,α)α

i=1nTi2nF(n,α)α>4limαnF(n,α)=χn2, czego oczekujemy, gdy sumujemy zmienne kwadratowe (standardowe) normalne.]

Próbkowania Dystrybucja wariancji przy pobieraniu próbek z Dystrybucjatα

Biorąc pod uwagę to, co napisałem powyżej, wyrażenie, które otrzymujesz dla „gęstości odchylenia standardowego zmiennych T próbki n” jest nieprawidłowe. Jednak nawet jeśli byłby prawidłowym rozkładem, odchylenie standardowe nie jest po prostu pierwiastkiem kwadratowym sumy kwadratów (jak się wydaje, do tej pory gęstość ). Zamiast tego (skalowanego) rozkładu próbkowania dla . W normalnym przypadku LHS tego wyrażenia można zapisać ponownie jako sumę kwadratowych zmiennych normalnych (termin wewnątrz kwadratu można przepisać jako liniową kombinację zmiennych normalnych, która jest normalnie rozłożona), co prowadzi do znajomyF(n,α)g(u)i=1n(TiT¯)2=i=1nTi2nT¯2χ2Rozkład . Niestety, liniowa kombinacja zmiennych (nawet z tymi samymi stopniami swobody) nie jest rozkładana jako , więc nie można zastosować podobnego podejścia.tt

Być może powinieneś ponownie przemyśleć, co chcesz zademonstrować? Cel może być możliwy na przykład za pomocą niektórych symulacji. Wskazujesz jednak przykład za pomocą , sytuacji, w której tylko pierwszy moment jest skończony, więc symulacja nie pomoże w obliczeniach tego momentu. α=3F(1,α)

Mark D.
źródło
Dzięki Mark; istotnie splot załamuje się, chociaż pierwsze dwa momenty zostały zachowane. Spróbuje chi-kwadrat i cofnie się.
Nero,
Przeredagowałem moje pytanie. Czy powinienem publikować modyfikacje w innym miejscu na stronie?
Nero,
Nero - zmiany w pytaniu powinny pojawić się w pytaniu. Zawsze możesz zasygnalizować, jak pytanie zmieniło się w pytaniu, jeśli to pomaga (pamiętaj jednak, że cała historia edycji pytania i odpowiedzi jest dostępna w razie potrzeby).
Glen_b