Jakie jest prawdopodobieństwo, że rozkład normalny z nieskończoną wariancją ma wartość większą niż jego średnia?

W dzisiejszym wywiadzie zapytano mnie o coś podobnego do tego.

Ankieter chciał wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo, że opcja „za pieniądze” skończy się w pieniądzu, gdy zmienność zmierza do nieskończoności.

Powiedziałem 0%, ponieważ rozkłady normalne, które leżą u podstaw modelu Blacka-Scholesa i hipoteza losowego marszu będą miały nieskończoną wariancję. Pomyślałem, że prawdopodobieństwo wszystkich wartości wyniesie zero.

Mój ankieter powiedział, że prawidłowa odpowiedź to 50%, ponieważ normalny rozkład będzie nadal symetryczny i prawie jednolity. Kiedy więc zintegrujesz od średniej do + nieskończoności, otrzymasz 50%.

Nadal nie jestem przekonany co do jego uzasadnienia.

Kto ma rację?

Żadna z form rozumowania nie jest matematycznie rygorystyczna - nie ma czegoś takiego jak rozkład normalny z nieskończoną wariancją, ani nie ma ograniczającego rozkładu, gdy wariancja staje się duża - więc bądźmy ostrożni.

$t \to \infty$$t$$0$$0$$1/2$$t \gt 0$$1/2$

$X_1, X_2,\ldots, X_n$$\mu$$\sigma_n$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$$\sigma_n\to \infty$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$$\sigma_n$

Intuicyjnie, zamiast wyobrażać sobie rozkład normalny wariancji nieskończonej, powinieneś wyobrazić sobie rozkład wariancji skończonej i pracować z jego granicami.

Powinieneś robić analizę w oparciu o logarytmiczny rozkład normalny, a nie normalny. Twój rozmówca się myli, gdy twierdzi, że rozkład jest symetryczny. Nigdy by tak nie było, niezależnie od wariancji. Musisz także odróżnić zmienność od tego, co nazywasz nieskończoną wariancją. Na przykład cena akcji nie ma górnego limitu, a zatem ma „nieskończoną wariancję”.