Oczekiwana wartość mediany próbki na podstawie średniej próbki

Niech oznacza medianę i niech oznacza średnią losowej próbki o wielkości z rozkładu, który jest . Jak obliczyć E (Y | \ bar {X} = \ bar {x}) ?$Y$$\bar{X}$$n=2k+1$$N(\mu,\sigma^2)$$E(Y|\bar{X}=\bar{x})$

Intuicyjnie, ze względu na założenie normalności, sensowne jest twierdzenie, że $E(Y|\bar{X}=\bar{x})=\bar{x}$ i rzeczywiście jest to poprawna odpowiedź. Czy można to jednak rygorystycznie wykazać?

Początkowo myślałem o podejściu do tego problemu przy użyciu warunkowego rozkładu normalnego, który jest ogólnie znanym rezultatem. Problem polega na tym, że ponieważ nie znam wartości oczekiwanej, a co za tym idzie wariancji mediany, musiałbym obliczyć te przy użyciu statystyki $k+1$ rzędu. Ale to jest bardzo skomplikowane i wolałbym tam nie iść, chyba że absolutnie muszę.

Niech $X$ oznaczają oryginalnej próbki i $Z$ losowy wektor z wpisami $Z_k=X_k-\bar X$ . Wówczas $Z$ jest normalnie wyśrodkowany (ale jego wpisy nie są niezależne, jak widać z faktu, że ich suma wynosi zero z pełnym prawdopodobieństwem). Jako liniowe funkcyjną $X$ , z wektorem $(Z,\bar X)$ jest normalne stąd wystarczy obliczenie jego macierzy kowariancji pokazać, że $Z$ jest niezależnie od $\bar X$ .

Przechodząc do $Y$ , widać, że $Y=\bar X+T$ , gdzie $T$ jest mediana $Z$ . W szczególności, $T$ zależy tylko od $Z$ stąd $T$ jest niezależny od $\bar X$ , a rozkład $Z$ jest symetryczny, a zatem $T$ jest wyśrodkowany.

Wreszcie,

$$E(Y\mid\bar X)=\bar X+E(T\mid\bar X)=\bar X+E(T)=\bar X.$$

Mediana próbki jest statystyką rzędu i ma rozkład nienormalny, więc łączny rozkład próby skończonej próbki mediany próbki i średniej próbki (która ma rozkład normalny) nie byłby dwuwymiarowy normalny. Odwołując się do przybliżeń, asymptotycznie następujące twierdzenia (patrz moja odpowiedź tutaj ):

$$\sqrt n\Big [\left (\begin{matrix} \bar X_n \\ Y_n \end{matrix}\right) - \left (\begin{matrix} \mu \\ \mathbb v \end{matrix}\right)\Big ] \rightarrow_{\mathbf L}\; N\Big [\left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) , \Sigma \Big]$$

z

$$\Sigma = \left (\begin{matrix} \sigma^2 & E\left( |X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} \\ E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} & \left[2f(\mathbb v)\right]^{-2} \end{matrix}\right)$$

gdzie ˉ X n jest średnią próbki, a μ średnią populacji, Y n jest medianą próby v v mediana populacji, f ( ) jest gęstością prawdopodobieństwa zaangażowanych zmiennych losowych, a σ 2 jest wariancją. $\bar X_n$$\mu$$Y_n$$\mathbb v$$f()$$\sigma^2$

Tak więc w przybliżeniu dla dużych próbek ich wspólny rozkład jest dwuwymiarowy normalny, więc mamy to

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \rho\frac {\sigma_{\mathbb v}}{\sigma_{\bar X}}(\bar x -\mu)$$

gdzie ρ jest współczynnikiem korelacji.$\rho$

Manipulując rozkładem asymptotycznym, aby stać się przybliżonym rozkładem łącznej dużej próbki dla średniej próbki i mediany próbki (a nie standardowych wielkości), mamy

$$\rho = \frac {\frac 1nE\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\frac 1n \sigma \left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}} = \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }$$

So

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma }\frac {\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\sigma}(\bar x -\mu)$$

We have that $2f(\mathbb v) = 2/\sigma\sqrt{2\pi}$ due to the symmetry of the normal density so we arrive at

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}E\left(\left|\frac {X-\mu}{\sigma}\right|\right)(\bar x -\mu)$$

where we have used $\mathbb v = \mu$. Now the standardized variable is a standard normal, so its absolute value is a half-normal distribution with expected value equal to $\sqrt{2/\pi}$ (since the underlying variance is unity). So

$$E(Y_n \mid \bar X_n=\bar x) = \mathbb v + \sqrt{\frac {\pi}{2}}\sqrt{\frac {2}{\pi}}(\bar x -\mu) = \mathbb v + \bar x -\mu = \bar x$$

The answer is $\bar{x}$.

Let $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ have a multivariate distribution $F$ for which all the marginals are symmetric about a common value $\mu$. (It does not matter whether they are independent or even are identically distributed.) Define $\bar{x}$ to be the arithmetic mean of the $x_i,$ $\bar{x} = (x_1+x_2+\cdots+x_n)/n$ and write $x-\bar{x} = (x_1-\bar{x}, x_2-\bar{x}, \ldots, x_n-\bar{x})$ for the vector of residuals. The symmetry assumption on $F$ implies the distribution of $x - \bar{x}$ is symmetric about $0$; that is, when $E\subset\mathbb{R}^n$ is any event,

$${\Pr}_F(x - \bar{x}\in E) = {\Pr}_F(x - \bar{x}\in -E).$$

Applying the generalized result at /stats//a/83887 shows that the median of $x-\bar{x}$ has a symmetric distribution about $0$. Assuming its expectation exists (which is certainly the case when the marginal distributions of the $x_i$ are Normal), that expectation has to be $0$ (because the symmetry implies it equals its own negative).

Now since subtracting the same value $\bar{x}$ from each of a set of values does not change their order, $Y$ (the median of the $x_i$) equals $\bar{x}$ plus the median of $x-\bar{x}$. Consequently its expectation conditional on $\bar{x}$ equals the expectation of $x-\bar{x}$ conditional on $\bar{x}$, plus $E(\bar{x}\ |\ \bar{x})$. The latter obviously is $\bar{x}$ whereas the former is $0$ because the unconditional expectation is $0$. Their sum is $\bar{x},$ QED.

This is simpler than the above answers make it. The sample mean is a complete and sufficient statistic (when the variance is known, but our results do not depend on the variance, hence will be valid also in the situation when the variance is unknown). Then the Rao-Blackwell together with the Lehmann-Scheffe theorems (see wikipedia ...) will imply that the conditional expectation of the median, given the arithmetic mean, is the unique minimum variance unbiased estimator of the expectation $\mu$. But we know that is the arithmetic mean, hence the result follows.

We did also use that the median is an unbiased estimator, which follows from symmetry.