Jakie jest prawdopodobieństwo, że bukmacher źle wycenia kursy na mecze piłki nożnej?

Angielska drużyna piłkarska rozgrywa serię meczów z różnymi przeciwnikami o różnych umiejętnościach. Bukmacher oferuje kursy na każdy mecz, czy będzie to zwycięstwo gospodarzy, gości na wyjeździe czy remis. W połowie sezonu drużyna rozegrała meczów i zremisowała z nich, co jest więcej niż można się spodziewać po kursach.$n$$k$

Jakie jest prawdopodobieństwo, że bukmacher źle wycenia kursy na te mecze, a nie po prostu pech? Jeśli bukmacher nadal wycenia pozostałe mecze drużyny w podobny sposób, a ja postawię że każdy z nich będzie remisem, jaki jest mój oczekiwany zwrot?$\$1$

Odpowiedź na twoje pytanie zależy ściśle od tego, jakich informacji i założeń będziesz używać. Wynika to z faktu, że wynik gry jest niezwykle skomplikowanym procesem. Może się to dowolnie skomplikować w zależności od posiadanych informacji o:

1. Gracze w danej drużynie - być może nawet określone kombinacje graczy mogą być istotne.
2. Gracze w innych drużynach
3. Wcześniejsza historia ligi
4. Jak stabilni są gracze drużyny - czy gracze są ciągle wybierani i upuszczani, czy to to samo 11.
5. Czas, w którym stawiasz zakład (w trakcie gry? Wcześniej? Ile wcześniej? Jakie informacje są tracone z zakładów przed do zakładów w dniu?)
6. niektóre inne istotne cechy piłki nożnej, które pominąłem.

Szanse, jakie daje bukmacher, nie odzwierciedlają kursów bukmacherów. co jest niemożliwe, jeśli są to prawdopodobieństwa. Bukmacher dostosuje kursy, gdy ktoś obstawi remis, i zwiększy je, gdy ktoś obstawi remis. Tak więc szanse są odzwierciedleniem szans graczy (którzy korzystają z tego bukmachera) jako całości. Więc to nie bukmacher sam w sobie wycenia, to kolektyw hazardowy - lub „przeciętny hazardzista”.

Teraz, jeśli zechcesz założyć, że jakikolwiek „mechanizm przyczynowy” skutkujący remisem pozostaje stały przez cały sezon (rozsądny? Prawdopodobnie nie ...), to otrzymujesz prosty problem matematyczny (ale zauważ, że nie ma powodu, aby to robić mieć „więcej racji” niż jakieś inne uproszczenie). Aby przypomnieć nam, że jest to przyjęte założenie, zostanie umieszczone po warunkowej stronie prawdopodobieństw. Przy takim założeniu obowiązuje rozkład dwumianowy:$A$

$$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$$

I chcemy obliczyć następujące

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$$ $$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$$

gdzie

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$$

jest późniejszy dla . Teraz w tym przypadku jest dość oczywiste, że może się zdarzyć remis, a także możliwe, że tak się nie stanie, więc odpowiedni jest jednolity przełożony (chyba że istnieją dodatkowe informacje, które chcielibyśmy uwzględnić poza wynikami sezonu ) i ustawiamy . Tylny jest następnie podawany przez rozkład beta (gdzie jest funkcją beta )$\theta$$P(\theta|A)=1$$B(\alpha,\beta)$

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$$

Biorąc pod uwagę i prawdopodobieństwo, że następnym meczem będzie remis, jest po prostu więc całka staje się:$\theta$$A$$\theta$

$$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$$

i stąd prawdopodobieństwo jest tylko:

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$$

Należy jednak pamiętać, że zależy to od - przyjętych założeń. Nazywają „cenowo kursów” warunkowego prawdopodobieństwa na innej nieznanej złożonych informacji, powiedzmy . Więc jeśli opublikowane szanse różnią się od powyższej frakcji, oznacza to, że i prowadzą do różnych wniosków, więc oba nie mogą mieć racji co do „prawdziwego wyniku” (ale oba mogą być słuszne, zależnie od przyjętych założeń ).$A$$B$$A$$B$

Morderca

Ten przykład pokazał, że odpowiedź na twoje pytanie sprowadzała się do podjęcia decyzji, czy był „bardziej dokładny” niż opisując mechanikę gry w piłkę nożną. Stanie się tak niezależnie od tego, jaka propozycja bywa . Zawsze sprowadzamy się do pytania „czyje założenia są słuszne, czy kolektyw hazardowy czy mój?” To ostatnie pytanie jest w zasadzie pytaniem, na które nie można odpowiedzieć, dopóki nie dowiesz się dokładnie, z czego składa się twierdzenie (lub przynajmniej niektóre jego kluczowe cechy). Bo jak możesz porównać coś, co jest znane z czymś, co nie jest?$A$$B$ $A$ $B$

AKTUALIZACJA: Rzeczywista odpowiedź :)

Jak bezczelnie zauważył @whuber, nie podałem tutaj oczekiwanej wartości - więc ta część po prostu uzupełnia tę część mojej odpowiedzi. Gdyby założyć, że jest prawdziwe z kursami , to w następnej grze można oczekiwać $A$ $Q$

$$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$$ $$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Teraz, jeśli założymy, że wartość opiera się na tym samym modelu co twój, możemy dokładnie przewidzieć, jak zmieni się w przyszłości. Załóżmy, że opierał się na innym przed jednolitym, powiedzmy , wówczas odpowiednie prawdopodobieństwo wynosi$Q$$Q$$Q$$Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

z oczekiwanym zwrotem

$$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

Teraz, jeśli zrobimy „poprzednią wagę” gdzie jest długością sezonu (pozwoli to na „niedoszacowanie cen” dalej przez resztę sezonu) i ustaw oczekiwany zwrot na zero otrzymujemy:$\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$$N$

$$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$$

(UWAGA: chyba że jest to rzeczywisty model, będzie zależeć od tego, kiedy to obliczenie zostało wykonane, ponieważ zależy od które będą się zmieniać w czasie). Teraz jesteśmy w stanie przewidzieć, w jaki sposób zostanie dostosowane w przyszłości, doda do mianownika dla każdego meczu i do licznika, jeśli mecz był remisem. Oczekiwane szanse po pierwszym meczu to:$\alpha_Q$$n,k,Q$$Q$$1$$1$

$$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$ $$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$$

To znaczy, że szanse na niewiele się zmienią w ciągu sezonu. Korzystając z tego przybliżenia, otrzymujemy oczekiwany zwrot w pozostałej części sezonu, ponieważ:

$$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Pamiętaj jednak, że opiera się to na zbyt uproszczonym modelu losowania (uwaga: nie musi to oznaczać, że będzie to predyktor „bzdurny”). Nie ma jednoznacznej odpowiedzi na twoje pytanie, ponieważ nie ma określonego modelu ani wcześniejszych informacji (np. Ile osób korzysta z tego bukmachera? Jaki jest obrót bukmachera? W jaki sposób moje zakłady wpłyną na kursy, które wyceniają?). Jedyne, co zostało określone, to dane z jednego sezonu, i że dla „jakiegoś nieokreślonego modelu” prawdopodobieństwo jest niespójne z prawdopodobieństwem wynikającym z wyceny kursów.

Bukmacherzy używają naziemnych, więc tak naprawdę nie obchodzi ich wynik, ponieważ wygrywają cokolwiek. Dlatego nigdy nie spotkasz biednego bukmachera. Jeśli bukmacher źle wycenia, Twoja zdolność do zarabiania zależeć będzie od kursów, jakie oferował bukmacher i tego, czy wygenerowane zyski pokryją straty, które straciłeś.