Rozkład wartości ekstremalnych

12

Jeśli element ma rozkład normalny, średnia również rozkład normalny. Co z minimum i maksimum?

użytkownik4211
źródło
Możesz zajrzeć do tej książki .
mpiktas,
1
@ user4211, czy pytasz o rozkład wartości minimalnej i maksymalnej dowolnego rozkładu próbek, czy tylko normalny?
mpiktas

Odpowiedzi:

13

Powinieneś spojrzeć na statystyki zamówień . Oto bardzo krótki przegląd.

Niech będzie próbką o wielkości pobraną z populacji z funkcją rozkładu i funkcją gęstości prawdopodobieństwa . Zdefiniuj , gdzie oznacza p statystyczną kolejności próbki , to jest, jego tej najmniejszej wartości.X1,XnnFfY1=X(1),,Yr=X(r),,Yn=X(n)X(r)rX1,Xnr

Można wykazać, że łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa wynosiY1,,Yn

fX(1),,X(n)(y1,,yn)=n!i=1nf(yi) jeśli i przeciwnym razie.y1<y2<<yn0

Całkując poprzednie równanie otrzymujemy

fX(r)(x)=n!(r1)!(nr)!f(x)(F(x))r1(1F(x))nr

W szczególności mamy dla minimum i maksimum

fX(1)(x)=nf(x)(1F(x))n1

fX(n)(x)=nf(x)(F(x))n1

ocram
źródło
+1, zredagowałem mały błąd w ostatniej formule.
mpiktas,
Dzięki ocram, odpowiedź jest imponująca, więc sprawdziłem jako dobrą odpowiedź, ale czy możesz teraz napisać ją zwykłym angielskim dzięki :) Przy okazji, jak umieścisz równanie w stackexchnage?
user4211
Co miałeś dokładnie na myśli? Poprosiłeś o pdf minimum i maksimum, a te dwa są podane odpowiednio przez i . Jeśli więc narysujesz wiele wielu próbek i obliczysz min dla każdej z nich, to otrzymasz losową zmienną z pdf . Czy to jest w porządku? f X ( n ) f X ( 1 )fX(1)fX(n)fX(1)
ocram
5

Możesz także przeczytać o uogólnionym rozkładzie wartości ekstremalnej (GEV) . Okazuje się, że jako rozkład (przesunięty i skalowany) maksymalnej wartości próbki jest zbieżny z jednym z trzech specjalnych przypadków rozkładu GEV.n

Aniko
źródło
Świetny link go przeczyta
użytkownik4211
1

Suma Gaussów jest gaussowska. Dlatego średnia jest normalna. Rozkład dowolnej funkcji nieliniowej (skończonej liczby) Gaussów nie musi być gaussowski i zwykle tak nie jest. Tak jest w przypadku funkcji maksymalnej. Hothorn jest dobrym miejscem na początek, aby przybliżyć maksimum wielowymiarowego gaussa .

JohnRos
źródło
bardzo ciekawy będzie czytać hothorn
user4211