Przyczyny założeń dla funkcji dystrybucji mikrofiletów?

Artykuł Modele mikropacetowe do refrakcji przez szorstkie powierzchnie (między innymi) przypomina nam następujące założenia dotyczące funkcji dystrybucji D mikrofacet:

1. Gęstość mikrofiletów jest dodatnia
2. Całkowity obszar mikropowierzchni jest co najmniej tak duży, jak odpowiadający mu obszar makropowierzchni
3. (Podpisany) rzutowany obszar mikropowierzchni jest taki sam, jak rzutowany obszar makrosurface dla dowolnego kierunku v

Rozumiem, dlaczego 1) gęstość dystrybucji jest wartością dodatnią i intuicyjnie wierzę, że 2) oznacza, że ​​całkowity obszar nachylonych mikropłatów nie może być mniejszy niż ich rzut.
Nie jestem jednak pewien, czy rozumiem uzasadnienie dla 3). Co oznacza trzeci warunek?

To geometryczne założenie, podobnie jak pozostałe dwa. Zastanów się nad płaską makros powierzchnią. Jego rzutowany obszar w dowolnym kierunku jest po prostu razy jego obszar (gdzie jest normalną powierzchnią). W szczególności przypadek, w którym patrzysz na nią wzdłuż normalnej, jest najprostszy: rzutowany obszar jest równy powierzchni powierzchni.$v$$v\dot\ \hat N$$\hat N$

Teraz podziel makropowłokę na mikrofacety. Całkowity obszar mikropacet jest co najmniej tyle samo (założenie 2), ale każde „załamanie” na powierzchni odchyla normalne osobne mikrofacety od pierwotnej normalnej. Bez względu na kształt mikropacet, suma ich rzutowanych obszarów nie zmienia się. W przypadku, gdy patrzysz wzdłuż normalnej, łatwo zauważyć, że całkowity rzutowany obszar jest taki sam: powierzchnia musiałaby być większa lub mniejsza, aby mogła się zmienić.

W dowolnym kierunku mikrofacet musi pokrywać część pierwotnego rzutowanego obszaru powierzchni. Zmiana orientacji mikrofaceta podczas wypełniania tej części nie zmienia jego rzutowanego obszaru.

Jest jeden trudny przypadek, w którym mikropacety nakładają się na siebie. W takim przypadku całkowity obszar jest większy, ponieważ część obszaru jest objęta więcej niż jednym mikrofacetem. Ale w tym przypadku co najmniej jeden z mikrofacet musi skierować się z powrotem w kierunku widoku, z powrotem na powierzchnię. W takim przypadku iloczyn skalarny jest ujemny, więc anuluje obszar objęty przez więcej niż jeden mikrofaket. Dlatego w tekście ostrożnie zaznacza się, że jest to podpisany obszar rzutowany.

Jest jeszcze jeden trudny przypadek, w którym mikrofacety wystają poza sylwetkę obiektu. Może się to zdarzyć, gdy patrzysz pod bardzo dużym kątem lub gdy wystające ścianki wystają poza obwód powierzchni. W takim przypadku rzutowany obszar mikrofacetów będzie większy, co narusza trzecie założenie. Zazwyczaj nie rozpatrujemy tej sprawy. Intuicyjnie odpowiada to temu, że techniki takie jak mapowanie wypukłości nie zmieniają kształtu sylwetki obiektu.