Jak działa 2D transformata Fouriera obrazu?

Rozumiem, w jaki sposób transformata Fouriera 1D dzieli sygnał na częstotliwości składowe, ale mam trudności ze zrozumieniem, w jaki sposób transformata Fouriera 2D wpływa na obraz 2D.

Z innym pytaniem , John Calsbeek połączony z ciekawym papierze o pomiaru jakości funkcji hałasu . Pokazało to różne funkcje szumu i transformatę Fouriera dla każdej z nich.

Czy jest to dyskretna transformacja danych pikselowych, czy ciągła transformacja funkcji ciągłej interpolacji, która służy do generowania szumu w dowolnych punktach?

Czy pierścieniowy kształt jest analogiczny do wykonywania transformacji Fouriera 1D linii przez środek obrazu pod każdym możliwym kątem? Czy też transformacja dla każdego możliwego kąta jest również mierzona w całej przestrzeni 2D, a nie tylko wzdłuż linii przechodzącej przez środek? Próbuję intuicyjnie wyczuć, jakie zmiany w obrazie wejściowym odpowiadają zmianom w transformacji Fouriera.

Przekształcenie Fouriera 2D wykonuje się najpierw poprzez wykonanie przekształcenia Fouriera 1D w każdym rzędzie obrazu, a następnie pobranie wyniku i wykonanie przekształcenia Fouriera 1D w każdej kolumnie. Lub odwrotnie; to nie ma znaczenia.

Podobnie jak transformata Fouriera 1D umożliwia dekompozycję funkcji na sumę fal sinusoidalnych (1D) o różnych częstotliwościach, transformacja Fouriera 2D rozkłada funkcję jako suma fal sinusoidalnych 2D. Fale te mogą mieć różne częstotliwości wzdłuż osi xiy. Ogólnie mają one postać:

gdzie i są częstotliwości wzdłuż i osi. Te dwie wartości tworzą wektor zwany wektorem falowym. W domenie przestrzennej fala jest zorientowana wzdłuż z częstotliwością wzdłuż osi .$k_x$$k_y$$x$$y$$(k_x, k_y)$$\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$

Podobnie jak w przypadku transformaty Fouriera 1D, istnieją zarówno wersje dyskretne, jak i ciągłe. Wynik dyskretnej transformaty Fouriera 2D jest macierzą złożonych amplitud dla zestawu wartości dyskretnych . Jest to zwykle wizualizowane (jak w dokumencie, z którym się łączysz) jako obraz, w którym piksel o współrzędnych reprezentuje amplitudę tego wektora falowego.$(k_x, k_y)$$(k_x, k_y)$

Zatem pierścieniowy kształt w 2D transformacie Fouriera wskazuje na niezmienność rotacyjną rozkładu częstotliwości (tj. Tyle samo amplitudy dla fal we wszystkich kierunkach), z wąskim zakresem wielkości (od wewnątrz pierścienia na zewnątrz). Innymi słowy, w artykule zastosowano transformację Fouriera, aby wykazać, że ich szum jest w miarę izotropowy i ograniczony w paśmie.