Zarówno GI, jak i Knot Problem stanowią problem decydowania o równoważności strukturalnej obiektów matematycznych. Czy są jakieś wyniki ustanawiające powiązania między nimi? Ładne powiązania problemu węzłów z fizyką statystyczną zostały zbadane za pomocą wielomianów węzłów , czy istnieją podobne wyniki dla ?
Byłoby to szczególnie pomocne, aby wiedzieć, czy są jakieś standardowe wyniki / ostrzeżenia / sugestie / uwagi przed zacząć patrząc na motywowane problemu węzeł. Właściwie zastanawiałem się, czy zaleca się eksplorację w tym kierunku w ramach pracy magisterskiej. Interesuje mnie kwantowe / klasyczne podejście do G I i problemy algebraiczne. Wszelkie inne sugestie są mile widziane.
cc.complexity-theory
reference-request
graph-theory
graph-isomorphism
algebraic-topology
DurgaDatta
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Jednym z połączeń jest to, że izomorfizm grafów i izomorfizm węzłów są szczególnymi przypadkami 3-różnorodnego homeomorfizmu. W przypadku węzłów dwa węzły są izomorficzne, jeśli ich uzupełnienia (rozmaitości utworzone przez usunięcie punktów węzła z 3 spacji) są homeomorficzne.
W przypadku grafu możliwe jest przekształcenie wykresów w rozmaitości w taki sposób, że wykresy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy rozmaitości są homeomorficzne. W grudniu napisałem komentarz na ten temat w poście w Google+, ale niestety nie w poście, który mogę udostępnić. Konstrukcja ma zacząć się od rozmaitości dla każdego wierzchołka v, w postaci dopełnienia w 3-kulowej wiązce pętli stopnia (v) (połączonych razem we wspólnym wierzchołku). Dla każdej krawędzi ultrafioletu połącz kolektory u i v razem za pomocą operacjii połącz jedną pętlę od u i jedną pętlę od v przez piłkę chirurgiczną. Następnie każdy izomorfizm wykresów podnosi się do homeomorfizmu wynikowego rozmaitości (byłoby to prawdą, nawet gdybyśmy po prostu zastosowali operację 3-sfer bez bukietów), a bukiety zapobiegają dodatkowym homeomorfizmom, które nie pochodzą z wykresu .
źródło
bardziej ogólne pytanie dotyczy związku między teorią węzłów a teorią grafów. jako jedno z możliwych miejsc do rozpoczęcia jest połączenie między wielomianem Jonesa (używanym do klasyfikacji węzłów) a wielomianem Tutte grafów płaskich. tzn. w teorii węzłów wielomian Tutte'a pojawia się jako wielomian Jonesa przemiennego węzła. (więc może istnieje jakiś związek teorii węzłów z GI na grafach płaskich).
patrz Thms 7,8 w:
Obliczanie wielomianu Tutte wykresu i wielomianu Jonesa naprzemiennego połączenia średniej wielkości Sekine, Imai, Tani
JONES POLYNOMIAL I WYKRESY NA POWIERZCHNIACH OLIVER T. DASBACH, DAVID FUTER, EFSTRATIA KALFAGIANNI, XIAO-SONG LIN I NEAL W. STOLTZFUS
źródło