podświetlany i polaryzujący typy Pi

W ostatnim wątku na liście mailingowej Agdy pojawiło się pytanie o prawa $\eta$ , w których Peter Hancock wypowiedział się prowokująco .

Rozumiem, że prawa $\eta$ mają typy negatywne, tj. łączniki, których zasady wprowadzania są odwracalne. Aby wyłączyć $\eta$ dla funkcji, Hank sugeruje użycie niestandardowego eliminatora, funsplit , zamiast zwykłej reguły aplikacji. Chciałbym zrozumieć uwagę Hanka pod względem biegunowości.

Na przykład istnieją dwie typy prezentacji $\Sigma$ . Istnieje tradycyjny eliminator podziału Martin-Löf , w pozytywnym stylu:

$$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : (a : A)(b : B\: a) \to C (a , b) \\ \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \mathrm{split}\: f\: p : C\: p \end{array}$$

I jest wersja negatywna:

$$\begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_0\: p : A \end{array} \qquad \begin{array}{l} \Gamma \vdash p : \Sigma a : A. B \\ \hline \\ \Gamma \vdash \pi_1\: p : B[\pi_0\: p / a] \end{array}$$

Ta ostatnia prezentacja ułatwia uzyskanie $\eta$ dla par, tj. $(\pi_0 p , \pi_1 p) == p$ dla dowolnej pary $p$ (gdzie == oznacza definicję równości). Pod względem niezawodności ta różnica nie ma znaczenia: intuicyjnie możesz realizować projekcje z podziałem lub na odwrót.

Teraz typy $\Pi$ są zwykle (i, jak sądzę, bez kontrowersji) traktowane negatywnie:

$$\begin{array}{l} \Gamma \vdash f : \Pi a : A. B \\ \Gamma \vdash s : A \\ \hline \\ \Gamma \vdash f s : B[s / a] \end{array}$$

Co daje nam $\eta$ dla funkcji: $\lambda x. f x == f$ .

Jednak w tej wiadomości Hank przypomina eliminator funsplit (Programowanie w teorii typów ML, [http://www.cse.chalmers.se/research/group/logic/book/], s. 56). Jest to opisane w ramach logicznych przez:

$$\begin{array}{l} f \in \Pi(A, B) \\ C(v)\: Set [v \in \Pi(A, B)] \\ d(y) \in C(\lambda(y)) [y(x) \in B(x) [x \in A]] \\ \hline \\ \mathrm{funsplit}(f, d) \in C(f) \end{array}$$

Co ciekawe, Nordstrom i in. uzasadnij tę definicję stwierdzeniem, że „[ta] alternatywna niekanoniczna forma opiera się na zasadzie indukcji strukturalnej”. Jest silny zapach pozytywności do tego stwierdzenia: funkcje byłyby „zdefiniowane” przez ich konstruktora, .$\lambda$

Nie mogę jednak do końca dopracować zadowalającej prezentacji tej reguły w naturalnej dedukcji (a nawet, lepiej, w rachunku różniczkowym). Kluczowe wydaje się tutaj użycie (ab) logicznego frameworka do wprowadzenia .$y$

Czy więc funsplit to pozytywna prezentacja typów ? Czy mamy również coś podobnego w (niezależnym) rachunku sekwencyjnym? Jak by to wyglądało?$\Pi$

Jak częste / ciekawe jest to dla teoretyków dowodów w tej dziedzinie?

Prezentacja eliminacji funkcjonalnej za pomocą jest zdecydowanie nie jest zwykle występowanie w większości zabiegów teorii typu. Uważam jednak, że ta forma jest rzeczywiście „pozytywną” prezentacją eliminacji typów funkcjonalnych. Problem polega na tym, że potrzebujesz formy dopasowania wzorca wyższego rzędu, patrz np.Dale Miller.$\mathrm{funsplit}$

Pozwól mi sformułować twoją regułę w sposób, który jest dla mnie jaśniejszy:

$$\begin{array}{l} \Gamma\vdash f : \Pi x:A. B \\ \Gamma, z:\Pi x:A. B\vdash C : Set\\ \Gamma, [x:A]F(x):B\vdash e : C\{\lambda x:A.F(x)/z\}\\ \hline \\ \mathrm{match}\ f\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e : C\{f/z\} \end{array}$$

Gdzie jest a$F$ meta zmiennej typu w kontekście x : .$B$$x:A$

Reguła przepisywania staje się następnie:

$$\mathrm{match}\ \lambda x:A.t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow e\quad \rightarrow\quad e\{t\{u/x\}/F(u)\}$$

Pozwala to zdefiniować aplikację jako:

$$\mathrm{app}(t,u)=\mathrm{match}\ t\ \mathrm{with}\ \lambda x:A. F(x)\Rightarrow F(u)$$

Poza faktem, że wymaga to posiadania systemu typu „logiczny styl ramowy”, kłopot (i ograniczona potrzeba) unifikacji wyższego rzędu sprawiają, że ta formuła jest niepopularna.

Istnieje jednak miejsce, w którym w literaturze występuje rozróżnienie dodatnie / ujemne: sformułowanie predykatów relacji logicznych . Dwie możliwe definicje (w jednym przypadku) to

$$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid \forall u\in [\![ A]\!], tu \in[\![B]\!]_{x\mapsto u} \}$$

i

$$[\![\Pi x:A.B]\!] = \{t\mid t\rightarrow^* \lambda x.t', \forall u\in[\![A]\!], t'\{u/x\}\in[\![B]\!]_{x\mapsto u}\}$$

Druga wersja jest mniej popularna, ale można ją znaleźć np. W Dówek i Werner .

Oto nieco inne spojrzenie na odpowiedź Fredrika. Generalnie jest tak, że impredykatywne kodowanie typów Kościoła spełnia odpowiednie prawa , ale nie spełnia praw η .$\beta$$\eta$

Oznacza to, że możemy zdefiniować parę zależną w następujący sposób:

teraz zauważyć, że π 1 łatwo definiowane: π 1 : ∃ x : x

$$\exists x:X.\;Y[x] \triangleq \forall \alpha:\ast.\; (\Pi x:X.\;Y[x] \to \alpha) \to \alpha$$ $\pi_1$ Jednak nie można zdefiniować drugiego rzutu π 2 : Π p : ( ∃ x : $$\pi_1 : \exists x:X.\;Y[x] \to X \triangleq \lambda p:(\exists x:X.\;Y[x]).\;p\;X\;(\lambda x\;y.x)$$ - spróbuj! Możesz zdefiniować dla niego tylko słaby eliminator, dlatego napisałem go egzystencjalnie.$\pi_2 : \Pi p:(\exists x:X.\;Y[x]).\; Y[\pi_1\;p]$

Druga projekcja jest jednak możliwa do zrealizowania , a w modelu parametrycznym można pokazać, że ma również właściwe zachowanie. (Zobacz mój ostatni szkic z Derekiem Dreyerem na temat parametryczności w rachunku konstrukcji, aby uzyskać więcej na ten temat.) Myślę więc, że projekcja zasadniczo wymaga pewnych silnych właściwości ekstensywności, aby miała sens.$\pi_2$

Jeśli chodzi o rachunek sekwencyjny, słaby eliminator ma regułę, która wygląda trochę jak:

Tutaj ukryte w warunkach dobrze ukształtowania wynika, żePnie występują wolne wy'lubC. Jeśli złagodzimy ten warunek, otrzymamy regułę podziału, która ma lewą regułę, która wygląda jak Γ,x:X,y:Y[x]

$$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; \Gamma' \vdash e' : C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$$ $p$$\Gamma'$$C$ $$\frac{\Gamma, x:X, y:Y[x],\; [(x,y)/p]\Gamma' \vdash e' : [(x,y)/p]C} {\Gamma, p:\exists x:X.\,Y[x],\; \Gamma' \vdash \mathsf{let}(x,y)=p\;\mathsf{in}\;e' : C}$$

Richard Garner napisał fajny artykuł na temat zastosowania vs funsplit, o sile zależnych produktów w teorii typów Martina- Löfa (APAL 160 (2009)), w którym omawia także naturę reguły funsplit wyższego rzędu (w odniesieniu do Peter Schroeder-Heister's Naturalne rozszerzenie naturalnej dedukcji (JSL 49 (1984))).

Richard pokazuje, że w obecności typów tożsamości (oraz zasad formacji i wprowadzenia dla $\Pi$ typy), funsplit można przenosić z powyższą regułą aplikacji + etos zdania, tj. dwie następujące reguły:

$$\frac{m : \Pi(A,B)}{\eta(m) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(m, \lambda x . m\cdot x)} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$)}$$ $$\frac{x : A \vdash f(x) : B(x)}{\eta(\lambda(f)) = \mathsf{refl}(\lambda(f)) : \mathsf{Id}_{\Pi(A,B)}(\lambda(f), \lambda (f))} \qquad (\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp)}$$

Oznacza to, że jeśli masz funsplit, możesz zdefiniować aplikację i $\eta$ jak wyżej, że $(\Pi\text{-Prop-$\eta$-Comp})$trzyma. Co ciekawsze, jeśli masz aplikację i reguły eta zdania, możesz zdefiniować funsplit.

Co więcej, funsplit jest ściśle silniejszy niż aplikacja: reguły etosu zdań nie są definiowalne w teorii tylko z aplikacją - stąd funsplit nie jest definiowalny, ponieważ wtedy zasady etosu zdania byłyby również. Intuicyjnie dzieje się tak, ponieważ reguły aplikacji dają ci trochę więcej luzu: w przeciwieństwie do funsplit (i eta), nie mówią ci, jakie są funkcje, tylko że można je zastosować do argumentów. Wierzę, że argument Richarda mógłby zostać powtórzony$\Sigma$ typy, aby pokazać ten sam wynik dla $\mathsf{split}$ vs prognozy.

Zauważ, że gdybyś miał definitywne reguły eta, z pewnością miałbyś je także propozycyjnie (z $\eta(m) := \mathsf{refl}(m)$). Dlatego myślę, że twoje stwierdzenia „[...], które nam daje$\eta$ dla funkcji ”i„ [...] ta ostatnia prezentacja ułatwia uzyskanie $\eta$ dla par ”są błędne. Agda jednak implementuje $\eta$ dla obu funkcji i par (jeśli $\Sigma$ jest zdefiniowany jako rekord), ale nie wynika to z samej aplikacji.