Przykłady, w których wyjątkowość rozwiązania ułatwia znalezienie

37

Klasa złożoności składa się z tych N P -Problemy że może być określana przez wielomian czasu niedeterministycznych maszynie Turinga, który ma co najwyżej jedną ścieżkę akceptacji obliczeniowej. Oznacza to, że rozwiązanie, jeśli w ogóle, jest wyjątkowe w tym sensie. Uważa się wysoce nieprawdopodobne, że wszystkie U P -Problemy są P , ponieważ przez Valiant-Vazirani twierdzenie to oznaczałoby upadek N P = R P .UPNPUPPNP=RP

Z drugiej strony, nie ma -problem jest znany jako N P -Complete, co sugeruje, że unikalny wymóg rozwiązanie wciąż jakoś czyni je łatwiejszym.UPNP

Szukam przykładów, w których założenie o wyjątkowości prowadzi do szybszego algorytmu.

Na przykład, patrząc na problemy z wykresem, czy maksymalna klika na wykresie może zostać znaleziona szybciej (choć być może wciąż w wykładniczym czasie), jeśli wiemy, że wykres ma unikalną maksymalną klikę? A może wyjątkowa kolorystyka, unikalna ścieżka hamiltonowska, unikalny minimalny zestaw dominujący itp.?k

Ogólnie rzecz biorąc, możemy zdefiniować wersję wyjątkowy roztwór o dowolnym -Complete problemu, skalowanie ich do U P . Czy wiadomo dla któregokolwiek z nich, że dodanie założenia o wyjątkowości prowadzi do szybszego algorytmu? (Pozwalając, że nadal jest wykładniczy).NPUP

Andras Farago
źródło
7
Twoje pierwsze zdanie zawiera poprawną definicję UP, ale resztą twoich odniesień do UP powinno być tak naprawdę PromiseUP (w tym Valiant-Vazirani). Tak czy inaczej jest to bardzo interesujące pytanie. Dwa przykłady: 1) Faktoring jest w UP i ma algorytm szybszy niż te znane z problemów z NP-zupełnym (ale faktoring jest również w coNP, a nawet coUP, więc nie jest tak jasne, że unikalność leży u podstaw szybkiego algorytmu.) 2 ) Sodoku, zgodnie z tradycyjną definicją, jest w PromiseUP, ale nie znam żadnych podejść do rozwiązywania sudoku, które wykorzystywałyby obiecaną wyjątkowość.
Joshua Grochow
9
Parzystość liczby ścieżek hamiltonowskich można znaleźć w czasie ( arxiv.org/pdf/1301.7250.pdf ), podczas gdy najbardziej znany algorytm problemu decyzyjnego zajmuje prawie 2 n czasu. 1.618n2n
Alex Golovnev
8
Oto przykład z obliczeń kwantowych: Rozważ problem wyszukiwania n elementów. Jeśli wiesz, że jest dokładnie 1 zaznaczony element, możesz go znaleźć za pomocą dokładnego algorytmu kwantowego z zapytania. Jeśli nie znasz liczby zaznaczonych elementów, każdy dokładny algorytm kwantowy wymaganzapytań. Θ(n)n
Robin Kothari,

Odpowiedzi:

22

3-SAT może być jednym z takich problemów. Obecnie najlepsza górna granica dla Unique 3-SAT jest wykładniczo szybsza niż dla ogólnej 3-SAT. (Przyspieszenie jest wykładnicze, chociaż redukcja wykładnika jest niewielka.) Rekordzistą tego wyjątkowego przypadku jest ten artykuł autorstwa Timona Hertliego.

kk5kkk=3,4k

kkδ<1nkO(2δn)k3kkk3,ϵ>0kO(2ϵn)

O

Andy Drucker
źródło
1
„prawda dla Unique 3-SAT” „prawda dla Unique k-SAT”
Cześć Ricky, nie widzę problemu z tym, co jest napisane. Ostatnie stwierdzenie o Unique 3-SAT znajduje się w streszczeniu artykułu.
Andy Drucker,
k co sprawiłoby, że byłoby to mylące.
16

Najkrótszy problem ścieżki rozłącznej 2-wierzchołkowej na niekierowanych grafach ostatnio rozwiązany (ICALP14) przez A. Bjorklunda i T. Husfeldta. Ale rozwiązanie deterministyczne dotyczy przypadku rozwiązania unikalnego. W przypadku, gdy istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, pokazali, że problem należy do RP . Jak wspomnieli autorzy artykułu, nie wiadomo, czy problem dotyczy P w ogólnym scenariuszu.

Saeed
źródło
3
Dziękuję, to jest bardzo interesujące. Ogólny przypadek, w którym rozwiązanie nie jest unikalne, jest również dobrym przykładem naturalnego (lub nawet praktycznego) problemu graficznego, który obecnie okazuje się być w RP, ale nie jest znany w P.
Andras Farago
10

Poza teorią złożoności i analizą algorytmów założenie, że może istnieć tylko jedno rozwiązanie, stanowi podstawę dla niektórych standardowych zasad używanych do dedukcji rozwiązania zagadek sudoku. Reguły te zazwyczaj obejmują poszukiwanie sposobów, w jakie części układanki mogą mieć dwa lub więcej rozwiązań, które nie wchodzą w interakcje z resztą układanki. Nie może się to zdarzyć w rzeczywistym rozwiązaniu, więc jeśli zostanie znaleziony wzorzec, który grozi jego spowodowaniem, należy go przerwać, umożliwiając solverowi ustalenie ograniczeń co do tego, jak może wyglądać rzeczywiste rozwiązanie. Zobacz http://www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.asp kilka przykładów reguł dedukcji opartych na wyjątkowości.

David Eppstein
źródło
9

G

Założenie o unikalności oznacza, że ​​parzystość liczby Szynki. ścieżki są takie same, jak decydowanie, czy wykres jest hamiltonowski.

O(1.619n)O(1.657n)O(n22n)

RB
źródło