Macierz ma wymiar n × n ( n - 1 ) . Chcemy wypełnić A za pomocą liczb całkowitych od 1 do n włącznie.
Wymagania:
- Każda kolumna jest permutacją 1 , … , n .
- Żadna submatrix utworzona z dwóch rzędów nie może mieć identycznych kolumn.
Pytanie:
Czy możliwe jest wypełnienie matrycy spełniającej wymagania?
Związek z kryptografią:
Każdy numer wiersza odpowiada tekstowi jawnemu. Każda kolumna odpowiada kluczowi. Ponieważ klucz określa zastrzyk, każda kolumna musi być permutacją. Drugim wymogiem jest zachowanie idealnej tajemnicy dla dwóch wiadomości.
Odpowiedzi:
Tsuyoshi, świetna obserwacja w twoim komentarzu! Myślę, że to prawie rozwiązuje problem.
Rozważ następujące dwa pytania
źródło
To jest częściowe rozwiązanie. Taka macierz istnieje, jeśli n jest siłą pierwszą.
Niech F będzie skończonym polem rzędu n . Konstruujemy macierz n × n ( n- 1), której wiersze są oznaczone przez F , której kolumny są oznaczone przez ( F ∖ {0}) × F , a których wpisy znajdują się w F w następujący sposób: i- ty rząd kolumna oznaczona ( a , b ) jest podana przez ai + b . W słowy, każda kolumna odpowiada stopniowi-jeden wielomian F . Następnie każda kolumna zawiera każdy element F. dokładnie raz, i żadna z dwóch kolumn nie ma równych wpisów w więcej niż jednym rzędzie, ponieważ wartości dwóch różnych wielomianów stopnia jeden mogą się pokrywać co najwyżej w jednym punkcie.
(Jeśli chcesz macierz, której wpisy znajdują się w {1,…, n } zamiast w F , zamień elementy F na {1,…, n } arbitralnie.)
źródło