Rozpuszczalność wypełnienia matrycy

11

Macierz ma wymiar n × n ( n - 1 ) . Chcemy wypełnić A za pomocą liczb całkowitych od 1 do n włącznie.An×n(n1)A1n

Wymagania:

  1. Każda kolumna jest permutacją 1 , , n .A1,,n
  2. Żadna submatrix utworzona z dwóch rzędów nie może mieć identycznych kolumn.A

Pytanie:

Czy możliwe jest wypełnienie matrycy spełniającej wymagania?

Związek z kryptografią:

Każdy numer wiersza odpowiada tekstowi jawnemu. Każda kolumna odpowiada kluczowi. Ponieważ klucz określa zastrzyk, każda kolumna musi być permutacją. Drugim wymogiem jest zachowanie idealnej tajemnicy dla dwóch wiadomości.

Cyker
źródło
1
Biorąc pod uwagę, że oznaczyłeś to tagiem cr.crypto-security, poprawiłoby to pytanie, gdybyś mógł określić, w jaki sposób odnosi się to do szyfrowania / bezpieczeństwa.
Dave Clarke
1
Proste obserwacje: taka macierz istnieje dla n≤4. Dla n≤3 weź wszystkie permutacje. Dla n = 4 jedynymi rozwiązaniami są wszystkie permutacje parzyste lub nieparzyste.
Tsuyoshi Ito
n4n5
3
(1) Myślę, że problem związany jest z teorią kodowania i dodał ją jako tag. (2) Kolejne spostrzeżenie: problem można również określić w następujący sposób. Znajdź macierz B o rozmiarze n × (n ^ 2) tak, że każda z pierwszych n kolumn B jest n powtórzeniami o tej samej liczbie i taka, że ​​B spełnia warunek 2 w pytaniu. Jeśli takie B istnieje, to każda z ostatnich n (n-1) kolumn B musi być permutacją. I odwrotnie, dowolną macierz A spełniającą warunki 1 i 2 można przekształcić w macierz B, dołączając n podanych kolumn po lewej stronie A.
Tsuyoshi Ito

Odpowiedzi:

11

Tsuyoshi, świetna obserwacja w twoim komentarzu! Myślę, że to prawie rozwiązuje problem.

Rozważ następujące dwa pytania

  1. kn(n1)
  2. kn2

kkkk1

1n{1,2,,n}k1nk1

kn2k2 34kjiji

nnn2nn=6kk=Ω(nc)c1

n=6k6×6n=10k=4

Peter Shor
źródło
n2nn1nnn1n=6
To bardzo miłe połączenie. Dziękuję za odpowiedź! Drobna uwaga: według Wikipedii wiadomo, że n-1 prostopadłe kwadraty łacińskie istnieją dla n-siły, nie tylko dla n-liczby.
Tsuyoshi Ito
@Tsuyoshi - Ups. Wiedziałem to; Po prostu powiedziałem to źle. Konstrukcja pochodzi z pól skończonych. Dziękuję za poprawienie mnie. Napraw to teraz.
Peter Shor
Zgadłem. :)
Tsuyoshi Ito
11

To jest częściowe rozwiązanie. Taka macierz istnieje, jeśli n jest siłą pierwszą.

Niech F będzie skończonym polem rzędu n . Konstruujemy macierz n × n ( n- 1), której wiersze są oznaczone przez F , której kolumny są oznaczone przez ( F ∖ {0}) × F , a których wpisy znajdują się w F w następujący sposób: i- ty rząd kolumna oznaczona ( a , b ) jest podana przez ai + b . W słowy, każda kolumna odpowiada stopniowi-jeden wielomian F . Następnie każda kolumna zawiera każdy element F. dokładnie raz, i żadna z dwóch kolumn nie ma równych wpisów w więcej niż jednym rzędzie, ponieważ wartości dwóch różnych wielomianów stopnia jeden mogą się pokrywać co najwyżej w jednym punkcie.

(Jeśli chcesz macierz, której wpisy znajdują się w {1,…, n } zamiast w F , zamień elementy F na {1,…, n } arbitralnie.)

Tsuyoshi Ito
źródło
n+1
@Artem: Być może, szczególnie biorąc pod uwagę odpowiedź Piotra łączącą to pytanie z prostopadłymi kwadratami łacińskimi. (Zastrzeżenie: według mojego nie-eksperckiego ortogonalne kwadraty łacińskie, MUB, kombinatoryczne, jednolite i SIC-POVM są prawie nierozróżnialne.)
Tsuyoshi Ito
Wielkie dzięki, Ito! Ten projekt wygląda naprawdę pięknie!
Cyker