Istnieją pewne problemy z liczeniem, które polegają na zliczaniu wykładniczo wielu rzeczy (w stosunku do wielkości danych wejściowych), a jednak mają zaskakujące algorytmy deterministyczne o czasie wielomianowym. Przykłady obejmują:
- Zliczanie idealnych dopasowań na wykresie planarnym ( algorytm FKT ), który jest podstawą działania algorytmów holograficznych .
- Zliczanie drzew rozciągających się na wykresie (za pomocą twierdzenia Kirchhoffa o macierzy ).
Kluczowym krokiem w obu tych przykładach jest ograniczenie problemu zliczania do obliczenia wyznacznika określonej macierzy. Wyznacznik sam w sobie jest oczywiście sumą wykładniczo wielu rzeczy, ale może być niespodziewanie obliczony w czasie wielomianowym.
Moje pytanie brzmi: czy istnieją jakieś „zaskakująco skuteczne” dokładne i deterministyczne algorytmy znane z liczenia problemów, które nie ograniczają się do obliczenia wyznacznika?
cc.complexity-theory
counting-complexity
big-picture
Ashley Montanaro
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Nie wiem, czy następujące problemy ograniczają się do obliczenia wyznacznika, ale i tak wymienię:
1) Zliczanie liczby ścieżek w DAG od węzła do węzła . Ale to nie jest zaskakujące. Proste określenie, czy jest osiągalny z jest w NL, a zatem w DET . Nie mam pojęcia o wersji zliczającej.v0 vf vf v0
2) Zliczanie liczby rozwiązań problemów definiowalnych w logice MSO w strukturach o ograniczonej szerokości drzewa. Zobacz na przykład artykuł na temat prac Courcelle, Arnborg i innych .
3) Jeśli masz funkcję , którą można wyrazić za pomocą obwodu bolean o szerokości drzewa logarytmicznego, niż możesz policzyć liczbę wejścia takie, że przez opracowanie obwodu kwantowego który wysyła do i klasycznie symuluje prawdopodobieństwo pomiaru w drugim rejestrze po zastosowaniu przy użyciu tych wyników .f:{0,1}n→{0,1} x f(x)=1 Uf |x⟩|0⟩ |x⟩|f(x)⟩ |1⟩ UfH⊗n|0⟩|0⟩
źródło
Zliczanie liczby punktów sieci w racjonalnym polotopie (gdy wymiar jest stały) w czasie wielomianowym , ze względu na Aleksandra Barvinoka.
źródło
W ramach Holanta istnieje kilka przypadków, które są podatne na leczenie (z innych niż trywialne) powodów innych niż poprzez matchgates na płaskich wykresach.
1) Bramy Fibonacciego
2) Dowolny zestaw podpisów afinicznych .
3) Nie-ważone #CSP
...żeby wymienić tylko kilka.
Ponadto, twierdzenie BEST podaje algorytm wielomianowy do zliczania liczby obwodów Eulera na wykresie ukierunkowanym, chociaż część algorytmu wykorzystuje obliczanie determinant.
źródło