Przewodnictwo i średnica na zwykłych wykresach

14

G=(V,E)

minSV e(S,Sc)min(|S|,|Sc|),
e(S,Sc)SSc

Bardziej konkretnie przypuszczać wiem średnica wynosi co najmniej (albo co najwyżej) . Co to mówi mi o przewodności, jeśli w ogóle? I odwrotnie, przypuśćmy, że wiem, że przewodnictwo wynosi co najmniej (lub przynajmniej) . Co to mówi mi o średnicy, jeśli w ogóle?Dα

robinson
źródło
2
Wygląda na to, że właściwość, o którą pytasz, to rozszerzenie wykresu zamiast przewodności wykresu, która jest zdefiniowana jako , gdzie v o l ( S ) jest zdefiniowane jako v S deg ( v )minS.V. mi(S.,S.¯)/min{vol(S.),vol(S.¯)}vol(S.)vS.deg(v). Która z nich jest właściwością, którą chcesz?
Hsien-Chih Chang 之 之
2
@ Hsien-Chi Chang - ponieważ wykres jest regularny, uważam, że przewodnictwo i ekspansja powinny być takie same, aż do mnożnika stopnia . re
robinson
1
Ach, nie zauważyłem, że wykres jest regularny. Dziękuję za wyjaśnienie.
Hsien-Chih Chang 張顯 之
@ Hsien-ChihChang 張顯 之: Myślałem, że ekspansja i przewodnictwo grafu są tą samą koncepcją. Czy w swoim komentarzu masz odniesienia do definicji?
Tim

Odpowiedzi:

13

Jak zauważa Hsieh, twoja definicja przewodności jest inna niż ta, którą znam współczynnikiem , gdzie d jest stopniem zwykłego wykresu. Jest to również znane jako rozszerzenie krawędzi dla zwykłych wykresów.rere

Zależność między rozszerzeniem krawędzi a średnicą jest dość łatwa do wykazania. Intuicyjnie ekspander jest „jak” pełny wykres, więc wszystkie wierzchołki są „blisko” siebie. Bardziej formalnie, niech

minS.V. mi(S.,S.do)remin{|S.|,|S.do|}α

S.|S.||V.|/2)αre|S.|S.solreS.S.(1+α)|S.|S.={u}ut=O(log1+α|V.|)ut|V.|/2)t+1vtu|V.|

re=O(log|V.|log(1+α))

Oczywiście wynika również, że posiadanie dolnej granicy średnicy oznacza górną granicę rozszerzalności krawędzi.

Nie sądzę, że mała średnica oznacza przewodnictwo. Jeśli nie nalegasz na zwykłe wykresy (i korzystasz z definicji Hsieha), wówczas dwa pełne wykresy połączone jedną krawędzią zapewniają kontrprzykład.

Sasho Nikolov
źródło
Zaraz opublikuję odpowiedź, a teraz nie muszę, mogę po prostu głosować na twoją;) Dzięki za dobrą odpowiedź!
Hsien-Chih Chang 張顯 之
Mam nadzieję, że całkowity czas spędzony z
nami na
1
@robinson: ten prosty fakt i szybkie mieszanie są podstawą wielu (większości?) zastosowań rodzin ekspanderów zwykłych wykresów. na przykład właściwość małej średnicy jest podstawą aplikacji do rozwiązywania problemów z łącznością w przestrzeni logów
Sasho Nikolov
1
moja pierwotna odpowiedź zawierała błąd: argument, który napisałem, dotyczył ekspansji wierzchołków, ale pracujemy tutaj z ekspansją krawędzi. naprawiłem błąd, a granica jest teraz nieco gorsza
Sasho Nikolov