Ograniczonym nondeterminism łączy funkcję z klasy języków akceptowanych przez deterministycznych maszyny Turinga zasobach ograniczona, w celu utworzenia nowej klasy - . Ta klasa składa się z tych języków, które są akceptowane przez jakąś niedeterministyczną maszynę Turinga przestrzegającą tych samych granic zasobów, jakie są używane do zdefiniowania , ale gdzie może wykonywać co najwyżej niedeterministyczne ruchy. (Używam notacji Goldsmith, Levy i Mundhenk, zamiast oryginału Kintali i Fischera, a jest rozmiarem danych wejściowych.)C g C M C M g ( n ) n
Moje pytanie:
Czy istnieje stała taka, że GRAPH ISOMORPHISM znajduje się w - ?c √ PTIME
( Edycja: Joshua Grochow wskazał, że pozytywna odpowiedź na to pytanie oznaczałaby algorytm dla GI, który ma lepsze asymptotyczne granice środowiska wykonawczego niż są obecnie znane. Dlatego chętnie rozluźniłbym granicę, umożliwiając niedeterministyczne ruchy).
tło
Dla każdej stałej stałej , - , ponieważ niedeterministyczne ruchy tworzą co najwyżej wielomianową liczbę konfiguracji do eksploracji deterministycznej. Ponadto , a za pomocą wypełnienia można wyświetlić języki NP-complete w - dla każdego .P T I M E = c log n P T I M E c log n N P = ∪ c n c - P T I M E n ε ε > 0
Kintala i Fischer zauważyli, że decydowanie, czy wykres wejściowy z wierzchołkami ma kliknięcie jest -kompletny, ale jest w - . Aby to zobaczyć, odrzuć wierzchołki, które mają najwyżej sąsiadów. Jeśli pozostało zbyt mało wierzchołków, odrzuć. W przeciwnym razie pozostałe wierzchołki tworzą wykres wielkości . Następnie zgadnij podzbiór wierzchołków za pomocą niedeterministyczne kroki i sprawdź, czy tworzą one klikę w czasie wielomianowym.( | V | / 3 ) O ( √PTIME| V| /3-2Ω(|V | 2)| V| /3| V| =O( √
Niektóre inne języki gęstych wykresów w są również w - . Dzieje się tak w przypadku każdego problemu, w którym podzbiór wierzchołków służy jako certyfikat, a rozmiar wykresu wejściowego to . Przykładami są obiecujące wersje Induced Path lub 3-Coloring w przypadku gęstych wykresów. Wydaje się, że inne problemy wymagają większych certyfikatów, na przykład lista wierzchołków definiujących obwód hamiltonowski wydaje się wymagać bitów . Nie jest dla mnie jasne, czy można użyć niedeterminizmu, który jest zbyt mały, aby odgadnąć certyfikat, aby rozstrzygnąć takie problemy.N P O ( √PTIMEΩ(|V | 2)Ω(|V|log|V|)
Biorąc pod uwagę, że - może zawierać języki NP-zupełne, wydaje się interesujące zapytać, gdzie w ograniczonej hierarchii niedeterminizmu spadają potencjalnie łatwiejsze języki. Można się spodziewać, że GI, jako język, który nie wydaje się być NP-zupełny, będzie w hierarchii bliżej - niż - . Jednak oczywisty certyfikat dla GI określa mapę za pomocąbitów, czyli .P log n P n P | V | log | V.ω ( √
Inny sposób myślenia o tym pytaniu: czy określenie mapy między zestawami wierzchołków jest najkrótszym możliwym certyfikatem dla GI?
Edycja: Poniżej podano kilka (poprawionych) uwag, które odnoszą się do komentarzy Jozuego Grochowa.
Jeśli certyfikat używa bitów i może być sprawdzany w czasie wielomianowym, wówczas brutalna siła daje algorytm dla GI przyjmującego czas. W przypadku certyfikatu o rozmiarze brute force daje algorytmowi zajmowanie czasu, zaś certyfikat o rozmiarze daje podejście z użyciem siły brutalnej, zajmując czasu. Długotrwała górna granica Luksa to czas, który jest między tymi dwiema granicami aż do stałych wykładników.p o l y ( n ) 2 O ( f ( n ) ) = 2 O ( f ( n ) ) O ( √2 O ( √O(√2 O ( √2 O ( √
Te rozważania sugerują, że może istnieć alternatywne podejście do OG. Podejście Luksa wydaje się opierać na identyfikacji podzbioru generatorów powiązanej grupy. Maszyna niedeterministyczna może zatem odgadnąć podzbiór grupy. Te podzestawy można następnie dokładnie sprawdzić, aby uzyskać algorytm deterministyczny. Jeśli listę elementów można określić zwięźle, albo dlatego, że powiązana grupa nigdy nie jest dużo większa niż rozmiar wykresu, lub ponieważ liczba wymaganych generatorów jest zawsze niewielka, a sprawdzenie każdego podzbioru kandydata nie trwa zbyt długo, wówczas może dać alternatywne podejście do OG.
- Chandra MR Kintala i Patrick C. Fischer, Refining Nondeterminism in Relativized Polynomial-Time Bounded Computation , SIAM Journal on Computing 9 (1), 46–53, 1980. doi: 10.1137 / 0209003
- Judy Goldsmith, Matthew A. Levy, Martin Mundhenk, Ograniczony niedeterminizm , SIGACT News 27 (2), 20–29, 1996. doi: 10.1145 / 235767.235769
- László Babai i Eugene M. Luks, Canonical Labeling of Graphs , STOC 1983, 171–183. doi: 10.1145 / 800061.808746
źródło
Odpowiedzi:
Po pierwsze, (jak już edytowano w pytaniu) pozytywna odpowiedź na twoje pytanie natychmiast poprawiłaby stan techniki w najgorszych przypadkach dla izomorfizmu grafowego. Dla algorytmu daje algorytm czasie , ale obecnie najbardziej znany z GI to tylkoO(n−−√)−PTIME 2O(n√) 2O(nlogn√)
Po drugie, nie jest nawet od razu jasne, czy obecnie najlepszym algorytmem jest w rzeczywistości algorytm , chociaż jego pierwsza część jest wyraźnie jakiś sens. Algorytm najpierw zgaduje zestaw wierzchołków o rozmiarze celu zindywidualizowania (sztuczka Zemlyachenko - zobacz tutaj ekspozycję w języku angielskim), co można zrobić zgadując bitów niedeterministycznie . Jednak po ich odgadnięciu i zindywidualizowaniu (w deterministycznym czasie wielorakim) stosuje najbardziej znany test izomorfizmu stopnia ograniczonego, który zajmuje czas (Twierdzenie 9.1 tego artykułu ), i stosuje to w przypadkuO(nlogn−−−−−√)−PTIME √n/logn−−−−−−√ n O ( d / log d ) d=O( √nlogn−−−−−√ nO(d/logd) O( √d=O(nlogn−−−−−√) . Musiałbym dokładnie przemyśleć, czy ten ostatni algorytm można przekształcić w algorytm (wydaje się interesujące pytanie ...)O(nlogn−−−−−√)−PTIME
źródło