Związek między symetrią a trudnością obliczeniową?

-fixed punkt bezproblemowe automorfizmem prosi wykresu automorfizm, który porusza się co najmniej k ( n ) węzłów. Problem polega na tym, że N P jest kompletne, jeśli k ( n ) = n c dla dowolnego c > 0.$k$$k(n)$$NP$$k(n)=n^c$$c$

Jeśli jednak to problemem jest czas wielomianowy, który Turing sprowadza się do problemu izomorfizmu grafowego. Jeśli k ( n ) = O ( log n / log log n ), to problem jest wielomianem czas Turinga równoważne problemu wykres automorfizm który w N P I i nie jest wiadomo, że N P -Complete. Problem z automorfizmem grafu redukuje Turinga do problemu z izomorfizmem grafowym.$k(n)=O(\log n)$$k(n)=O(\log n/\log \log n)$$NPI$$NP$

O złożoności zliczania liczby wierzchołków poruszanych przez graforfizm, Antoni Lozano i Vijay Raghavan Foundation of Software Technology, LNCS 1530, ss. 295–306

Wygląda na to, że twardość obliczeniowa wzrasta wraz ze wzrostem symetrii obiektu, który próbujemy znaleźć (na co wskazuje liczba węzłów, które musi przenieść automorfizm). Wydaje się, że może to tłumaczyć brak wielomianowej redukcji Turinga z wersji NP-complete do Graph Automorphism (GA)

Czy istnieje inny przykład twardego problemu, który wspiera tę zależność między symetrią a twardością?

To nie jest dokładnie ten sam „związek” między symetrią a twardością, ale istnieje ścisły związek między symetriami funkcji boolowskiej i jej złożonością obwodu. Widzieć:

Babai, L., Beals, R. i Takácsi-Nagy, P. Symetria i złożoność , STOC 1992.

Oto, co pokazują. Niech być sekwencją grup permutacji. Niech a ( G I ) oznaczają liczbę orbit G ı w wywołanego działaniem na { 0 , 1 } i (o permutacji współrzędnych). Niech K ( G ) oznacza klasę języków L takie, że L ∩ { 0 , 1 } n niezmienna przy G n . Następnie wszystkie języki w języku $G_{i} \leq S_{i}$$s(G_{i})$$G_{i}$$\{0,1\}^{i}$$\mathcal{F}(G)$$L$$L \cap \{0,1\}^{n}$$G_{n}$ ma co najwyżej obwody wielkości$\mathcal{F}(G)$ i głębokość co najwyżej P ° l r ( log ( s ( G ) ) , i jest zasadniczo szczelne.$poly(s(G))$$poly(\log(s(G))$

W przeciwnym kierunku szereg problemy, których świadkiem zestawy posiadają wiele symetrii końcu jest w c o A M (jak G I ), a więc nie są N P -Complete chyba P H zwija. W rzeczywistości, następujące pokazy papierowe że N P problemy, których świadkiem zestawy mają wiele symetrie są niskie P P :$NP$$coAM$$GI$$NP$$PH$$NP$$PP$

Arvind, V., Vinodchandran, NV Rosnąca złożoność języków definiowanych przez grupę . Teoretyczna Comput. Sci. 242 (2000), no. 1-2, 199--218.

(Uwaga: czy „niska ” oznacza „mało prawdopodobne N P . -Complete” jest trochę w górę, o ile wiem, Toda i Ogiwara wykazały, że P P P H ⊆ B P ⋅ P P. Zatem przy założeniu „derandomizacji” B P ⋅ P P = P P , N P w rzeczywistości jest niski dla P P , więc bycie niskim dla P P nie stanowi przeszkody dla bycia N $PP$$NP$$PP^{PH} \subseteq BP \cdot PP$$BP \cdot PP = PP$$NP$$PP$$PP$$NP$-kompletny. Z drugiej strony istnieje wyrocznia z powodu Beigela, w stosunku do której nie jest niska dla P P ).$NP$$PP$

W podobny sposób jak powyżej, jeśli każdy wielomian czasie rozstrzygalne równoważność związek ma wielomian czasie całkowite niezmiennik (funkcja tak, że F ( x ) = f ( T ) wtw x ~ r ), to jakiekolwiek N P problemu, którego świadków ma wiele symetrii, sprowadza się do problemu ukrytej podgrupy dla grupy automorfizmów jej świadków. Trzeba przyznać, że hipoteza tutaj jest raczej mało prawdopodobna, ale daje pewien związek między symetrią a złożonością kwantową.$f$$f(x) = f(y)$$x \sim y$$NP$

Wreszcie Mulmuley-Sohoni program teorii geomektrycznej złożoności zasadniczo polega na wykorzystaniu symetrii do udowodnienia twardości, chociaż połączenie symetrii z twardością jest bardziej subtelne i mniej bezpośrednie.

Strukturalne instancje SAT, które wykazują wiele symetrii, wydają się łatwiejsze do rozwiązania niż przypadkowe instancje SAT. Kodowanie problemów ze świata rzeczywistego w SAT zawsze daje podstawy do ustrukturyzowanych instancji (co nie jest zaskakujące, ponieważ problemy w prawdziwym świecie, przed którymi stoimy, mają symetrie). Najlepsze kompletne solwery SAT są w stanie efektywnie rozwiązywać instancje świata rzeczywistego z aż 1 000 000 zmiennych, ale o ile mi wiadomo, żadna z nich nie jest w stanie skutecznie rozwiązać przypadkowych instancji z, powiedzmy, 10 000 zmiennych (na temat Edwarda A. Hirscha na stronie głównej można znaleźć zaskakująco małe przypadkowe instancje, przeciwko którym utkną nawet najlepsze kompletne solwery SAT). Zatem z empirycznego punktu widzenia obecność symetrii wydaje się zmniejszać twardość.