Pokaż, że funkcja złożona rośnie i jest supermodularna, biorąc pod uwagę jej składniki

Jeśli można dwukrotnie różnicować w sposób ciągły, ma nieujemny gradient i jest supermodularny, a jest dwa razy stale różnicowalne i wypukłe, a następnie rośnie i jest supermodularne g : R → R g ( f ( x ) $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$g(f(x))$

Aby pokazać wzrost, myślę, że możemy po prostu pokazać$\displaystyle \frac{d}{dx} g(f(x)) > 0$

$$\displaystyle \frac{d}{dx} g(f(x) = g'(f(x)) f'(x)$$

Ponieważ ma nieujemny gradient , ale nie jestem pewien, jak pokazać jak podano wypukłe mówi namf ′ ( x ) ≥ 0 g ′ ( f ( x ) ) > 0 g ″ ( x ) > $f(x)$$f'(x) \geq 0$$g'(f(x)) > 0$$g''(x) > 0$

Dla supermodularności niech ; będzie nadcząsteczkowy, jeśli utrzyma się następująca nierówność: g ( f ( x ) $l, l' \in \mathbb{R}^n$$g(f(x))$

$$\displaystyle (g \circ f)(l \vee l') + (g \circ f)(l \wedge l') \geq (g \circ f)(l) + (g \circ f)(l')$$

Myślę, że gdybyśmy mieli , wtedy będziemy mieli równość jako i , ale nie wiem, co zrobić w pozostałych przypadkach.( g ∘ f ) ( l ∨ l ′ ) = ( g ∘ f ) ( l ′ ) ( g ∘ f ) ( l ∧ l ′ ) = ( g ∘ f ) ( l $l_i \leq l_i', \; \forall i$$(g \circ f)(l \vee l') = (g \circ f)(l')$$(g \circ f)(l \wedge l') = (g \circ f)(l)$

Nie sądzę, aby ta propozycja się utrzymywała, nie zakładając, że również rośnie. Weźmy (właściwie dowolna funkcja supermodularna) (malejące i wypukłe). Następnie który nie zwiększa się w argumentach ani nie jest supermodularny.f ( x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 g ( z ) = - z g ( f ( x 1 , x 2 ) ) = - x 1 x $g$$f(x_1,x_2)=x_1x_2$$g(z)=-z$$g(f(x_1,x_2))=-x_1x_2$

Jeśli założymy również, że rośnie, otrzymujemy razu.g ′ ( f ( x ) ) ≥ $g$$g'(f(x))\geq 0$

Możesz łatwo wykazać supermodularność, używając warunku na drugiej pochodnej. Oznacz . Supermodularność jest równoważna funkcji f do dla dowolnego . Jeśli dwukrotnie rozróżnisz ( jest operatorem złożonym), Możesz sprawdzić, czy , aby był nadmodularny, ponieważ∂ 2$x=(x_1,...,x_n)$i

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x)\geq 0$$ $i\ne j$$g \otimes f$$\otimes$∂2g⊗ $$\frac{\partial^2 g \otimes f}{\partial x_i \partial x_j}(x)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x) . g'(f(x)) + \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) .\frac{\partial f}{\partial x_j}(x) .g''(f(x))$$ g⊗ffg$\frac{\partial^2 g \otimes f}{\partial x_i \partial x_j}(x)\geq 0$$g \otimes f$$f$ jest supermodularny, rośnie, jest wypukły.$g$$g$