Przekonania i spójność wyższego rzędu w teorii gier

Czytam o przekonaniach wyższego rzędu. Zanim przejdę do definicji formalnych, zdefiniuję pewną wspólną terminologię, której będę potrzebować w odniesieniu do definicji formalnych.

Jeśli i Y są dwiema spacjami, oznacz zbiór prawdopodobieństw nad X jako Δ ( X ) , a dla δ ∈ Δ ( X × Y ) określ miarę krańcowej prawdopodobieństwa δ na X m a r g ( δ ; X ) ( e ) = δ ( E x Y ) dla każdego podzbioru mierzalnego E w X .$X$$Y$$X$$\Delta(X)$$\delta\in \Delta(X\times Y)$$\delta$$X$

$$marg(\delta;X)(E)=\delta(E\times Y)$$ $E$$X$

Formalna definicja wyższego rzędu jest następująca:

Niech będzie zbiorem graczy. Dla każdego i ∈ N , A i ≠ ∅ to skończony zestaw akcji dostępnych dla gracza i . Oznacz zestaw strategii mieszanych dla gracza i jako Σ i = Δ ( A i ) . Jak zwykle zdefiniuj Σ - i = × j ≠ i Σ i oraz Σ = $N=\{1,2,\dots, n\}$$i\in N$$A_i\neq\emptyset$$i$$i$$\Sigma_i=\Delta(A_i)$$\Sigma_{-i}=\times_{j\neq i} \Sigma_i$ . Zdefiniuj zestaw se przekonań pierwszego rzędu B 1 i = Δ ( Σ - i ) i B 1 - i = × j ≠ i B 1 j , a B 1 = × i B 1 i . Zdefiniować indukcyjnie, dla każdego k ≥ 1 B k + 1 i = Δ ( Σ - i × B 1 $\Sigma=\times_i \Sigma_i$$B_i^1=\Delta(\Sigma_{-i})$$B_{-i}^1=\times_{j\neq i} B_j^1$$B^1=\times_i B_i^1$$k\geq 1$ Wreszcie, B i = × ∞ k = 1 B k

$$B_i^{k+1}=\Delta(\Sigma_{-i}\times B_{-i}^1\times \dots B_{i}^k)\\ B_{-i}^{k+1}=\times_{j\neq i} B_j^{k+1}\quad B^{k+1}=\times_i B_i^k$$ $B_i=\times_{k=1}^\infty B_i^k$

Spójne przekonanie jest opisane w następujący sposób:

$b_i=(b_i^1,b_i^2,\dots)\in\times_i B_i^k$$k\geq 1$ $marg(b_i^{k+1},\Sigma_{-i}\times B_{-i}^1\times\dots\times B_{-i}^k)=b_i^k$$marg$

$E\subset \Sigma_{-i}$$marg(b_i^2;\Sigma_{-i})(E)=b_i^1(E)$

$i$$j$

$$\Sigma_i=\{(p,1-p):p\in[0,1]\}\quad \Sigma_j=\{(q,1-q):q\in[0,1]\}$$ $b_i^1\in\Delta(\Sigma_j)$$b_i^2\in\Delta(\Sigma_j\times B_j^1)$$b_i^1$$q$$b_i^2$$q$$j$$E$$(q,1-q)$$q\leq 0.5$$\Sigma_j$$marg(b_i^2;\Sigma_j)=b_i^1(E)$

Sposób, w jaki określa się hierarchie przekonań, przekonania dotyczące tych samych zdarzeń są kodowane w różnych miejscach.

Podstawowy pomysł jest właściwie dość prosty. Masz dwóch graczy, Ann i Bob, powiedzmy. Przekonania Ann pierwszego rzędu określają, jak prawdopodobne jest, że sądzi ona przy każdej strategii wyboru Boba. Przekonania Ann drugiego rzędu określają, jak prawdopodobne jest, że sądzi ona każdą kombinację wyboru strategii Boba i przekonanie Boba na temat wyborów strategii Ann. Przekonania drugiego rzędu to wspólne prawdopodobieństwa.

$1/2$

$1/4$$3/4$

$1/2$$1/4$

To jest absurdalne i nie ma sensu. Przekonania Anny co do prawdopodobieństwa, że ​​Bob zagra C, powinny być takie same, zgodnie z jej przekonaniami pierwszego rzędu, jak i przekonaniami drugiego rzędu. Teraz spójność jest dokładnie warunkiem, który to gwarantuje. Jeśli pewne przekonanie na temat zdarzenia E jest określone na więcej niż jednym poziomie hierarchii przekonań, każda hierarchia powinna określić to samo przekonanie na temat zdarzenia E.

$marg(b_i^2;\Sigma_j)=b_i^1(E)$$marg(b_i^2;\Sigma_j)(E)=b_i^1(E)$, zgodnie z zaleceniami dotyczącymi spójności i rozsądku.