Aksjomat ciągłości w oczekiwanej teorii użyteczności

Weź następującą definicję ciągłości.

Relacja preferencji nad przestrzenią loterii L jest ciągła, jeśli dla dowolnego L, L ', L' '\ in \ mathcal L , zbiory S_1 = \ {\ alpha \ in [0,1]: \ alpha L + (1- \ alpha) L '\ succsim L' '\} i S_2 = \ {\ alpha \ in [0,1]: L' '\ succsim \ alpha L + (1- \ alpha) L' \} są oba zamknięte.$\succsim$$\mathcal L$$L,L',L''\in\mathcal L$

$$S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$$ $$S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$$

Czy to koniecznie prawda, że $S_1\cup S_2=[0,1]$ ? Jeśli tak, to dlaczego?

To jest.
Przed ciągłością, która jest właściwością relacji preferencji, sama relacja preferencji została zdefiniowana jako relacja binarna, która charakteryzuje się przechodniością i, na początek, kompletnością . Jeśli więc , oznacza to, że istnieją pewne wartości gdzieś w , nazwij je dla których $\succsim$
$S_1\cup S_2 \neq [0,1]$$\alpha$$[0,1]$$\tilde \alpha$

ani

$$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$$

ani

$$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$$

Innymi słowy, dla tych nie można w ogóle zamówić pary . Jest to jednak sprzeczne z fundamentem kompletności, który jest potrzebny, aby nawet uzyskać relację preferencji (co oczywiście jest używane w naszej teorii. Psychologowie, jak sądzę, nie zgodzą się).$\tilde \alpha$

Należy również pamiętać, że kompletność jest zdefiniowana dla wszystkich możliwych par, nawet jeśli w konkretnej sytuacji zdecydujemy się ograniczyć przestrzeń loterii do czegoś mniejszego. To, czy rozważane loterie należą do określonej przestrzeni loterii, jest naprawdę nieistotne. Osoba posiadająca preferencje musi być w stanie ją zamówić w każdym przypadku, nawet jako scenariusz „hipotetyczny” (chociaż ściśle mówiąc, w przypadku konkretnego problemu mamy „luksus” narzucenia kompletności tylko w odniesieniu do dostępnych loterii, a „ pozostanie agnostyczny "w odniesieniu do kompletności, jeśli rozszerzymy przestrzeń loterii. Jednak to„ osłabienie "narzucenia aksjomatu kompletności, tak naprawdę nie przynosi żadnego zysku).