27

Powiedzmy, że mam sinusoidę 1 kHz, więc nie ma wyższych harmonicznych, to muszę go wypróbować co najmniej 2 kHz, aby móc go zrekonstruować.
Ale jeśli próbuję przy częstotliwości 2 kHz, ale wszystkie moje próbki są w punkcie przejścia przez zero, wówczas mój próbkowany sygnał w ogóle nie wykazuje sinusa, a raczej EKG zmarłego pacjenta. Jak to można wytłumaczyć?

Można to rozszerzyć również na wyższe częstotliwości próbkowania. Jeśli próbuję bardziej złożony kształt fali przy 10 kHz, powinienem uzyskać przynajmniej 5 pierwszych harmonicznych, ale jeśli kształt fali jest taki, że próbki są za każdym razem zerowe, to znowu nic nie dostajemy. Nie jest to zbyt daleko posunięte, jest idealnie możliwe dla fali prostokątnej o cyklu pracy <10%.

Dlaczego więc kryterium Nyquista-Shannona wydaje się tutaj nieważne?

analysis Federico Russo
źródło

7

Kryterium Nyquista jest minimum. Inne problemy, takie jak aliasing, mogą wymagać wyższego próbkowania lub innych środków zaradczych.

drxzcl

Łał! 3 odpowiedzi dla 6 wyświetleń!

Federico Russo,

@FedericoRusso Masz tendencję do zadawania dobrych pytań

m.Alin

1

Krótko mówiąc: w twoim przykładzie próbkowanie sinusoidy 1kHz z częstotliwością 2kHz powoduje aliasy sygnału do sinusoidy 0Hz - co powoduje śmierć pacjenta!

Phil

26

Rzeczywiście potrzebujesz częstotliwości próbkowania nieco ponad 2 kHz, aby poprawnie próbkować fale sinusoidalne 1 kHz. To nie

f_{N} < f_{S} / 2

$f_N < f_S / 2$

f_{N} \leq f_{S} / 2

$f_N \le f_S / 2$

v (t) = A e^{j (2 π f t - θ)} = A (\cos (2 π f t - θ) + j \sin (2 π f t - θ))

$v(t) = Ae^{j(2 \pi f t - \theta)} = A(\cos(2 \pi f t - \theta) + j \sin(2 \pi f t - \theta))$

f_{N} = f_{S} / 2

$f_N = f_S / 2$

Nie sinusoidy

W przypadku fali prostokątnej przy 1 kHz z cyklem roboczym mniejszym lub równym 10%, który jest próbkowany przy 10 kHz, nie rozumiesz wejścia.

Najpierw musisz rozłożyć przebieg na szereg Fouriera, aby dowiedzieć się, jakie są amplitudy składowych harmonicznych. Prawdopodobnie będziesz zaskoczony, że harmoniczne tego sygnału są dość duże po 5 kHz! (Zasada kciuka trzeciej harmonicznej równa 1/3 tak silnej jak podstawowa, a piąta będąca 1/5 podstawowej, ma zastosowanie tylko do 50% kwadratowych fal cyklu roboczego )

Ogólna zasada dla sygnału komunikacyjnego polega na tym, że złożona szerokość pasma jest taka sama jak odwrotność czasu twojego najmniejszego impulsu, więc w tym przypadku patrzysz na minimalną szerokość pasma 10 kHz (-5 kHz do 5 kHz) dla 10% cykl roboczy z podstawą przy 1 kHz (tj. 10 kb / s).

Tak więc zrujnuje Cię to, że te silne harmoniczne wyższego rzędu będą się składać i zakłócać (konstruktywnie lub destrukcyjnie) harmoniczne wewnątrzpasmowe, więc doskonale się spodziewasz, że możesz nie uzyskać dobrego próbkowania, ponieważ tak wiele informacji jest poza Nyquist zespół muzyczny.

Mike DeSimone
źródło

1

Że nie wyjaśnia drugi przykład chociaż, gdzie próbka częstotliwość jest 10 razy groung częstotliwość

Federico Russo

Tak, tęskniłem za tym. Dodano do mojej odpowiedzi. Zabawna rzecz do przemyślenia: drut kategorii 5e, który może przesyłać dane Gigabit Ethernet, ma określoną szerokość pasma 100 MHz. Kat. 6 przechodzi na 250 MHz, a kat. 7 na 750 MHz.

Mike DeSimone

Oznaczałoby to, że amplituda i faza sygnału pulsacyjnego dla każdej harmonicznej ma odwzorowanie na lustrzaną harmoniczną z dokładnie taką samą fazą, ale odwróconą amplitudą?

Federico Russo,

@Federico: „fold over” w tym przypadku oznacza odbicie lustrzane o częstotliwości Nyquista. Więc jeśli próbujesz przy 10 kHz i próbujesz próbkować sinusoidę 11 kHz, otrzymasz zamiast tego 9 kHz. Spróbuj pobrać próbkę 13 kHz, a zamiast tego otrzymasz 7 kHz.

endolith,

1

W przypadku ostatniego komentarza przykładem jest spojrzenie na samochody w telewizji: gdy prędkość obrotowa zbliża się do wielokrotności liczby klatek na sekundę, koło wydaje się zwalniać, dopóki się nie zatrzyma, a następnie zaczyna obracać się w przeciwnym kierunku.

clabacchio

8

$F_S + f$ $F_S - f$
$F_S / 2$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

$-F_S / 2$ $F_S / 2$
$F_S$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

$F_S / 2$

$F_S$ $F_S / 2$

stevenvh
źródło

1

+1 za zdjęcia. Spraw, by było to o wiele wyraźniejsze.

Federico Russo,

Tak, zdjęcia! Powinienem z nich korzystać częściej, ale zbyt dobrze się bawię sztuką ASCII. W każdym razie wszystko, co nakładają się na ryc. 2, może być użyteczne, jeśli częstotliwości, których faktycznie używasz, są całkowicie w części nienakładającej się, ale nie jest to powszechne poza modulacją sigma-delta.

Mike DeSimone

W niektórych przypadkach wpuszczanie się do materiału próbkującego powyżej Fs / 2 może być w porządku, jeśli po próbkowaniu usuniesz wszystko, co ma aliasy. Na przykład, jeśli ktoś chce skończyć z próbkowanym dźwiękiem o częstotliwości 8 000 Hz, ale nie odfiltrować rzeczy poniżej 3500, może być trudno stworzyć filtr tak ostry przy użyciu obwodów analogowych. Z drugiej strony, jeśli zaczniemy od próbkowania przy 16 000 Hz i cyfrowo odfiltrujemy rzeczy powyżej 4000 Hz, wystarczyłby tylko filtr analogowy, który tłumiłby rzeczy powyżej 12 KHz, utrzymując rzeczy poniżej 4K Hz. Wszystko między 4-12 Khz byłoby alias do 4-8 Khz.

supercat

@ superupcat - Twój filtr anty-aliasowy powinien zawsze być analogowy. Zgadzam się z twoją opinią na temat filtra analogowego, ale używane liczby są niepoprawne. 4-12 kHz będzie alias do 4-12 kHz, a nie 8 kHz. (Możesz to łatwo zobaczyć, jeśli zaznaczysz przepustowość, która powinna być równa.)

stevenvh

@stevenvh: Zazwyczaj wynik próbkowania jest opisywany wyłącznie w kategoriach częstotliwości w Nyquist lub niższej, myślę, że chociaż każda częstotliwość poniżej Nyquist będzie aliasowana do jednej między Nyquist a częstotliwością próbkowania. Chodzi mi o to, że jeśli planujemy cyfrowo filtrować cokolwiek powyżej 4KHz, nie trzeba się martwić, że częstotliwości między 8KHz a 12 Khz zostaną zwinięte do zakresu 4KHz-8KHz; ponieważ i tak zostaną odfiltrowane. Prawie zawsze potrzebny jest jakiś analogowy filtr antyaliasingowy, ale w wielu przypadkach nadpróbkowanie może znacznie złagodzić wymagania. It's ...

supercat

1

Twierdzenie jest w porządku. Twój sygnał NIE powinien zawierać częstotliwości równych lub wyższych niż połowa częstotliwości próbkowania, zgodnie z Nyquist. Shannon prawdopodobnie na to pozwala, ale jest to jego wersja twierdzenia, która prawdopodobnie powoduje dwuznaczność przy częstotliwości krytycznej.

Edycja (Re: głosowanie w dół za krótką odpowiedź?): Nie widzę potrzeby wyjaśniania samej metody próbkowania. Pytanie dotyczy zamieszania: „częstotliwość krytyczna jest zawarta w paśmie lub nie”, a jeśli sformułowanie twierdzenia Shannona zawiera błąd. Tak naprawdę (jak to widzę na światowej wiki). Lub najprawdopodobniej autorzy wiki zacytowali jego słowo nieprecyzyjnie. Nawiasem mówiąc, w tym wieku jest 4 niezależnych autorów tego twierdzenia, więc zamieszanie wśród osób uczących się pomysłu z losowych źródeł może się nasilić.

źródło

Jeśli twoje wejście próbkowania nie ma jakiegoś filtra dolnoprzepustowego, nic nie powinno być filtrowane; wszystkie harmoniczne powinny się składać i potencjalnie zakłócać się wzajemnie. Niektóre nowoczesne radia wykorzystują składanie częstotliwości Nyquist jako przesuwnik pasma, wykorzystując ADC z wejściem szerokopasmowym z filtrem pasmowym z przodu.

Mike DeSimone

@ Mike DeSimone: Dziękujemy za wyjaśnienie efektu aliasingu, ale znowu pytanie nie dotyczy rekonstrukcji „końca pasma”, a nie „rekonstrukcji wewnątrz pasma” lub „poza pasmem”.

0

$N Hz$ $\frac{1}{2}N$ $1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

$f$ $t$

Ale według Wikipedii:

Zasadniczo twierdzenie to pokazuje, że próbkowany sygnał analogowy o ograniczonym paśmie można doskonale odtworzyć z nieskończonej sekwencji próbek, jeśli częstotliwość próbkowania przekracza 2B próbek na sekundę, gdzie B jest najwyższą częstotliwością w oryginalnym sygnale.

Częstotliwość próbkowania dwa razy większa niż częstotliwość jest błędna - powinna być nieco ponad dwukrotnie wyższa. W ten sposób kolejne próbki przechwytują nieco inne części kształtu fali.

Majenko
źródło

Tak jak powiedziałem także Mike'owi: nie wyjaśnia to jednak drugiego przykładu, w którym częstotliwość próbkowania jest 10 razy większa niż częstotliwość grounga

Federico Russo

Fala prostokątna ma niewiarygodnie wysokie harmoniczne. Nyquist twierdzi, że jest to nieco ponad 2x wyższa częstotliwość. Najwyższa częstotliwość może wynosić setki, jeśli nie tysiące razy więcej niż 50% cyklu pracy.

Majenko,

Dotyczy to również sygnału ciągłego - fala prostokątna PWM przy 10% obciążeniu nie jest ciągła. 50% PWM można uznać za sygnał ciągły dla najniższej częstotliwości (cyklu roboczego), ale nie dla wyższych częstotliwości.

Majenko,

@Matt - każdy sygnał jest nieciągły dla najniższej częstotliwości, ponieważ wszystkie częstotliwości komponowania są sinusami, według Fouriera. Jest również całkowicie możliwe, aby puls Federico był ciągły i nadal miał ten sam wynik próbkowania.

stevenvh

0

Podczas próbkowania z określoną szybkością F, każdy składnik częstotliwości f wygeneruje aliasy postaci kF + f i kF- f dla wszystkich wartości całkowitych k. W powszechnym użyciu nie ma składowych częstotliwości powyżej F / 2 podczas próbkowania sygnału, więc jedynymi składnikami w zakresie od 0 do F / 2 będą te, które były obecne w oryginalnym sygnale. Po próbkowaniu będą składowe sygnału powyżej F / 2 (generowane jako aliasy tych poniżej). Najbardziej kłopotliwe dla dowolnej częstotliwości f w oryginalnym sygnale będzie częstotliwość o częstotliwości F- f .

Zauważ, że jako częstotliwość fzbliża się do F / 2 od dołu, pierwsza częstotliwość aliasu zbliży się do F / 2 od góry. Jeśli wejście zawiera sygnał o częstotliwości F / 2-0,01 Hz, będzie alias na częstotliwości F / 2 + 0,01 Hz - zaledwie 0,02 Hz powyżej. Oddzielenie sygnałów pierwotnych i aliasowych będzie teoretycznie możliwe, ale w praktyce trudne. Próbkowany kształt fali pojawi się jako suma dwóch fal o jednakowej sile o niemal równej częstotliwości. Jako taka, jego amplituda wydaje się zmieniać wraz ze względną fazą fal o wyższej częstotliwości. W przypadku, gdy częstotliwość wejściowa wynosi dokładnie F / 2, częstotliwość aliasowa będzie również dokładnie F / 2. Ponieważ w ogóle nie będzie separacji częstotliwości między oryginałem a aliasem, separacja będzie niemożliwa. Zależność fazowa między sygnałami pierwotnym i aliasowanym określi amplitudę sygnału wynikowego.

supercat
źródło

Zdziwiony częstotliwością Nyquista

Odpowiedzi:

Nie sinusoidy