Równania różniczkowe (uproszczonego) mostu ładunkowego

Mam problem z obliczeniem równań różniczkowych uproszczonego mostu obciążeniowego.

System jest zbudowany jak pokazano na poniższym obrazku (tylko szkic):

Jeśli zastosuję podejście Newtona, otrzymam następujące równania, zaniedbując tarcie, opór powietrza i zmiany długości liny:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

Kiedy patrzę na relacje kinematyczne z chwytaka (koła o wadze ), otrzymuję następujące równania. $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

Znam wagi i oraz długość ale wartości nie są w tej chwili ważne. $m_k$ $m_G$ $l$

Celem jest posiadanie dwóch równań różniczkowych na końcu. Jedno równanie pokazuje związek między siłą napędową i ścieżką wózka (z pochodnymi). Drugie równanie pokazuje związek między siłą napędową a kątem liny . $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

Następnie chcę wykonać funkcje przesyłania (transformacja Laplace'a itp.), Ale to nie jest problem.

Problem polega na tym, że nie mogę znaleźć tych równań. Moje najlepsze podejście do tej pory wygląda następująco:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

Oznacza to, że jeśli

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

Mogę powiedzieć:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

a jeśli wyprowadzę ten sposób: $x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

Utknąłem tutaj, ponieważ nie mogę znaleźć sposobu na wyeliminowanie z równań. Twierdzenia o dodawaniu wcale mi nie pomagają (lub używam ich poprawnie). $\varphi$

Czy ktoś ma pojęcie, jak powinienem kontynuować w tym momencie? Mam nadzieję, że nie potrzebuję kompletnego rozwiązania. Tak naprawdę jestem tym bardziej zainteresowany i mam nadzieję, że uda mi się popchnąć w dobrym kierunku.

mechanical-engineering control-engineering modeling mathematics tlp
źródło

Odpowiedzi:

Domyślam się, że prawdopodobnie potrzebujesz innego równania różniczkowego dla ruchu kątowego, które będzie obejmować bezwładność, takie jak:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

co daje:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

Możesz wtedy użyć przybliżenia małych kątów:

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

Sprawdź odwrócony przykład wahadła .

popr. 304
źródło

Zwłaszcza odwrócony wahadło jest bardzo pomocne ... dzięki za to - nie myślałem o tym

tlp

Kinematyka i dynamika

To są kroki do rozwiązania problemów tego rodzaju.

Przeanalizuj kinematykę systemu.

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $_{o}\vec{r}_{OR}$ $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

Uwaga: jest macierzą rotacji, a . $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

Pochodne czasowe:

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

Użyj równania Newtona:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

Zastąp : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Dla osi Z:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

Użyj drugiej zasady Newtona do rotacji:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

Korzystanie z tożsamości trygonometrii:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

Gotowe! Teraz możesz odpocząć ... $\ddot\smile$

leCrazyEngineer
źródło