Współczynnik Poissona

Usiłuję znaleźć współczynnik Poissona, biorąc pod uwagę następujące informacje:

Cylindryczna próbka jakiegoś stopu metalu o średnicy 52 mm jest elastycznie naprężona. Siła 43 354 N powoduje zmniejszenie średnicy próbki o 0,0031 mm. Moduł sprężystości materiału wynosi 821 GPa.

Obliczyłem odkształcenie boczne jako . $0.0031\ \mathrm{mm}/52\ \mathrm{mm} = 5.96\times 10^{-5}$

Używając , obliczyłem odkształcenie osiowe jako naprężenie podzielone przez moduł sprężystości. Ponieważ a naprężenie wynosi , odkształcenie osiowe wynosi . $\sigma = F/A$ $E = 821\ \mathrm{GPa}$ $\sigma = 43,354\ \mathrm{N}/(\pi(\frac{52}{2}\ \mathrm{mm})^2)= 0.02041\ \mathrm{GPa}$ $\epsilon_a = 2.486 \times 10^{-5}$

Dzieląc odkształcenie boczne przez , otrzymuję odpowiedź , która wydaje się zbyt duża (w module), aby była poprawna. Wiem, że algebra jest poprawna, więc problem musi być gdzie indziej. Ale gdzie? $\nu = -2.397$

materials Couto
źródło

Wykorzystując redukcję powierzchni do obliczenia odkształcenia wzdłużnego, ponieważ , pomija obliczenia naprężeń i daje współczynnik Poissona . Jest to uzasadnione, jeśli objętość jest zachowana. Jeśli następnie użyjesz odkształcenia wzdłużnego opartego na redukcji powierzchni do obliczenia naprężenia wstecznego, otrzymasz i siłę . Ponieważ wyniki są niespójne dla różnych obliczeń tej samej wartości, doszłbym do wniosku, że oryginalne pytanie ma gdzieś niepoprawną wartość. Albo brakuje mi czegoś naprawdę prostego.

- Δ A / A \approx Δ L / L

$-\Delta A/A \approx \Delta L/L$

0.5

$~0.5$

98.5 MPa

$98.5\ \textrm{MPa}$

210 kN

$210\ \textrm{kN}$

wwarriner

@starrise Pracowałem problem z podanymi wartościami i dostałem 2.4e-3. Nie jestem zaznajomiony z uproszczeniem redukcji obszaru, ale jeśli opis problemu nie jest oparty na realistycznych wartościach, założenia, które pozwalają na takie uproszczenia, mogą nie zostać przyjęte. i.stack.imgur.com/vNn4U.png

Air

GPa wynosi 10 ^ 9 N / m ^ 2 lub naprzemiennie 10 ^ 6 kN / m ^ 2. Zapisując to, zmienia swoją odpowiedź na 2.4, co otrzymuję (i oprócz znaku ujemnego), co mam OP.

wwarriner

@starrise Idealna ilustracja dla OP, dlaczego pokazujesz całą swoją pracę, gdy poprosisz kogoś o sprawdzenie. :)

Air

Doszedłem do wniosku, że pierwotny problem jest bezsensowny. Żadna odpowiedź nie jest „poprawna”, ponieważ problem jest niespójny.

wwarriner

Odpowiedzi:

Kilka ważnych punktów:

Metale rzadko przekraczają kilkaset modułów GPa - kilka stron znajduje się na stronie wikipedii . Mam przeczucie, że to błąd podręcznika i że inny moduł dałby poprawną odpowiedź. Na przykład 82,1 GPa prowadziłby do odkształcenia osiowego 2,486 × 10-4, co prowadzi do współczynnika Poissona wynoszącego 0,2397, co ma sens. 82,1 GPa leży na stole między aluminium i mosiądzem - realistyczna wartość dla metalu.
Niektóre obiekty naprawdę mają bardzo wysoki moduł, a nawet moduł ujemny - ale są to zwykle materiały kompozytowe. W podręczniku wymieniono zakres od 0 do 1/2 jako akceptowalne wartości dla współczynników Poissona dla inżynieryjnych materiałów niekompozytowych (patrz Mechanika materiałów, Rozdział 2.13 ). To sprawia, że 0.2397 jest lepszą odpowiedzią.
Wszystkie wartości naukowe powinny mieć przecinek dziesiętny. Podana wartość 821 GPa nie podaje dokładności. 821. (lub 821.0) GPa stwierdza, że dokładność wynosi +/- 0,5 GPa z kropką dziesiętną. Jest to część znaczących liczb . To podkreśla, że 821 GPa to błąd podręcznika na dodatkowym poziomie.

znak
źródło

Teoretycznie moduł powinien mieścić się w zakresie od -1 do 0,5. Przy 0,5 objętości jest zachowana, a moduł objętości jest nieskończony. Ciśnienie hydrostatyczne nie ma wpływu na materiał o objętości 0,5. Materiały o współczynniku Poissona większym niż 0,5 miałyby ujemny moduł objętościowy i rozszerzyłyby się przy ściskaniu hydrostatycznym. Przy -1 moduł ścinania jest nieskończony, a materiał byłby idealnie sztywny pod naprężeniem ścinającym. Poniżej -1 materiał ma ujemny moduł ścinania i odkształca się w przeciwnym kierunku naprężenia. Zobacz to .

wwarriner

Interesujące rzeczy. Wymieniłem moje referencje, chociaż uzyskałem je w Sophomore Year of College. Doszedłem do wniosku, że pojawiły się bardziej zaawansowane rzeczy, mając doświadczenie z ujemnym stosunkiem między tym a czasem, ale miło jest usłyszeć wyjaśnienie.

Mark

Zgadzam się na pierwsze dwa punkty, ale nie na trzeci. 821 ma trzy znaczące liczby. Kropka dziesiętna jest wymagana tylko wtedy, gdy ma więcej niż trzy cyfry lub w przypadku liczb całkowitych kończących się jednym lub większą liczbą zer, gdzie zera należy liczyć jako liczby znaczące. Jestem pewien, że niektórzy przestrzegają konwencji, którą opisujesz, ale większość tekstów z moich uczelni nie - w tym te dobre.

Air

Zastosowaną metodę można nieco zmodyfikować, stosując naprężenia True i naprężenia True zamiast naprężeń inżynierskich i odkształceń. Współczynnik Poissona opiera się na zachowaniu objętości obiektu. Naprężenia techniczne i odkształcenia nie zachowują objętości, podczas gdy naprężenia i odkształcenia True zachowują objętość.

Zależność między prawdziwym naprężeniem a prawdziwym odkształceniem różni się od wielkości inżynierskich. Korzystanie z tej relacji może rozwiązać problem.

Shashvat Mehta
źródło