Cel wykorzystania Fidelity w Randomized Benchmarking

Często, porównując dwie macierze gęstości, $\rho$ i $\sigma$ (na przykład, gdy $\rho$ jest eksperymentalną implementacją idealnego $\sigma$ ), bliskość tych dwóch stanów wynika z wierności stanu kwantowego

$$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$$ z niewiernością zdefiniowaną jako.$1-F$

Podobnie, porównując, jak blisko implementacja bramki jest z idealną wersją, wierność zmienia się na gdzie jest miarą Haara dla stanów czystych. Nic dziwnego, że może to być względnie nieprzyjemne w pracy.

$$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$$ $d\psi$

Teraz zdefiniujmy macierz w przypadku macierzy gęstości lub podczas pracy z bramkami. Następnie normy Schattena ¹ , takie jak , \ | M \ | _2 ^ 2 = tr \ left (M ^ \ sztylet M \ right) lub inne normy, takie jak norma diamentowa, mogą być obliczone.$M = \rho - \sigma$$M = U - \tilde U$$\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$$\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$

Normy te są często łatwiejsze do obliczenia ² niż powyższa wierność. Co gorsza, w losowych obliczeniach benchmarkingowych niewierność nawet nie wydaje się świetną miarą , ale jest to liczba, która jest używana za każdym razem, gdy widzę, gdy patrzę na wartości benchmarkingowe dla procesorów kwantowych. ³⁾

Więc Dlaczego (nie) wierności go-to wartości do obliczania błędów brama procesorów kwantowych (za pomocą randomizacji benchmarking), gdy nie wydaje się mieć sens pomocny i innych metod, takich jak normy Schatten, są łatwiejsze do obliczenia na klasycznym komputerze?

---

^{1 Normą p Schattena dla $M$ jest $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 tj. Podłącz model hałasu na (klasycznym) komputerze i symuluj}

^{3 Takich jak IBM QMX5}

Nielsen i Chuang w swojej książce „Obliczenia kwantowe i informacje kwantowe” mają rozdział (Rozdział 9) dotyczący miar odległości dla informacji kwantowej.

Nieoczekiwanie mówią w sekcji 9.3 „Jak dobrze kanał kwantowy chroni informacje?” że porównując wierność z normą śledzenia:

Wykorzystując właściwości odległości śledzenia ustalonej w ostatnim odcinku, nie jest w większości przypadków trudne równoległe opracowanie w oparciu o odległość śledzenia. Okazuje się jednak, że wierność jest łatwiejszym narzędziem do obliczeń iz tego powodu ograniczamy się do rozważań opartych na wierności.

Wyobrażam sobie, że po części dlatego stosowana jest wierność. Wydaje się, że jest dość przydatny jako statyczna miara odległości.

Wydaje się również, że istnieją stosunkowo proste rozszerzenia wierności na zespoły państw

$$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$$

prawdopodobieństwo przygotowanie systemu w stanach p j i E szczególny głośny kanał odsetek, 0 ≤ F ≤ 1 .$p_j$$\rho_j$$\mathcal{E}$$0\leq F\leq 1$

Istnieje również rozszerzenie wierności splątania, aby zmierzyć, jak dobrze kanał zachowuje splątanie. Biorąc pod uwagę stan zakładany w jakiś sposób uwikłany w świat zewnętrzny oraz oczyszczenie stanu (fikcyjny system R ), tak że R Q jest czysty. Stan poddaje dynamiki w kanale E . Liczby pierwsze wskazują stan po zastosowaniu operacji kwantowej. I R jest mapa tożsamość na system R .$Q$$R$$RQ$$\mathcal{E}$$\mathcal{I}_R$$R$

$$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$$

Istnieją pewne formuły wyprowadzone w celu uproszczenia obliczeń wierności i wierności splątania, również podane w tym rozdziale.

Jedną z atrakcyjnych właściwości wierności splątania jest to, że istnieje bardzo prosta formuła, która umożliwia dokładne obliczenie.

$$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$$

gdzie „elementy operacyjne” spełniają relację kompletności. Może ktoś inny może komentować bardziej praktyczne zastosowania, ale to właśnie zebrałem po przeczytaniu.$E_i$

Aktualizacja 1: Re M.Stern

To ta sama referencja, co Nielsen i Chuang. Komentują to, mówiąc: „Można się zastanawiać, dlaczego wierność pojawiająca się po prawej stronie definicji jest podniesiona do kwadratu. Istnieją dwie odpowiedzi na to pytanie, jedna prosta i jedna złożona. Prosta odpowiedź polega na tym, że uwzględnienie tego kwadratowego terminu powoduje zespół wierności bardziej naturalnie wiąże się z wiernością splątania, jak zdefiniowano poniżej. Bardziej złożoną odpowiedzią jest to, że informacja kwantowa jest obecnie w powijakach i nie jest całkowicie jasne, jakie „poprawne” definicje pojęć takich jak informacje zachowujemy! Niemniej jednak, jak zobaczymy w rozdziale 12, średnia wierność zespołu i wierność splątania rodzą bogatą teorię informacji kwantowej, która prowadzi nas do przekonania, że ​​te środki są na dobrej drodze,

Aby odpowiedzieć na drugie pytanie, dlaczego nie spojrzeć na wierność , istnieje punkt ładny wspomniano w „środków rozróżnialność między zespołami stanów kwantowych”, który moim zdaniem jest w PhysRevA ale jest wersja arXiv tutaj .$\bar{\rho}$

Punkt, o którym wspominają na str. 4, to założenie , że masz dwa zespoły i σ, które akurat mają tę samą macierz średniej gęstości zespołu, ˉ ρ = ˉ σ , wówczas wierność F ( ˉ ρ , ˉ σ ) nie może rozróżniać między nimi.$rho$$\sigma$$\bar{\rho}=\bar{\sigma}$$F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Aktualizacja 2: Re Mithrandir24601 Tak więc jedna definicja wierności bramki jest motywowana przez zastanowienie się, jakie jest najgorsze zachowanie kanału dla danego stanu wejściowego.$\mathcal{E}$

$$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

Ze względu na wklęsłość obu argumentów w tym minimalizowaniu można ograniczyć się do stanów czystych, równoważność w drugiej części jest tylko zapisem.

Określając, jak dobrze bramka jest implementowana, można również spojrzeć na najgorszy przypadek implementacji jednolitej bramki przez kanał E , definiując$U$$\mathcal{E}$

$$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

W podanej przez ciebie formule i papierze, który podłączyłeś, integrują się one nad , z odpowiednią miarą ∗ . To sprawia, że ​​uważam, że powinno to być traktowane jako średnia wierność ˉ F ( U , ˜ U ) , co możesz sobie wyobrazić, że może być bardziej przydatne w praktycznych eksperymentach, szczególnie jeśli powtarzasz eksperyment. Prawdopodobnie nie jest możliwe osiągnięcie dokładnego minimum.$\psi$$^*$$\bar{F}(U,\tilde{U})$

Jest tutaj wersja artykułu arXiv autorstwa Michaela Nielsena, w której mówi on o przeciętnej wierności bramki.

Jedyną dodatkową różnicą między wiernością bramki a średnią wiernością wspomnianej bramki w porównaniu z formułą, którą początkowo podałeś, jest kwadrat śladu: który masz. Podobnie jak w aktualizacji 1, niektórzy wolą używać F 2 jako wierności niż F , ponieważ podobno można go łatwiej połączyć z wiernością splątania. Muszę poczytać o tym więcej, aby poprawnie skomentować.$[\operatorname{trace}]^2$$F^2$$F$

( )Poza tym: myślę, że nazywanie tego „miarą Haara” może być mylące, widziałem to również w gazetach. O ile mi wiadomo, przestrzeń stanów czystych jest zwykle topologicznie C P n , dla n- wymiarowej przestrzeni Hilberta. Najwyraźniej miara, której używają, jest dziedziczona z miary haar na U ( n ) przez iloraz, a więc przeczytałem tutaj:/physics//a/98869/41998.$\,^*$$\Bbb{CP}^n$$n$$U(n)$