Do czego służy kategoryczna mechanika kwantowa?

Ta odpowiedź jest opinią kogoś, kto jest zasadniczo postronny wobec „CQM” (= Categorical Quantum Mechanics), ale ogólnie sympatyczny outsider. Należy to interpretować jako takie.

Motywacje CQM

Motywacje kategorycznej mechaniki kwantowej nie są obliczeniami jako takimi, ale logiką ; a nie dynamika kwantowa jako taka, ale podstawy fizyki . Symptomy tego można zobaczyć w tym, co opisuje jako osiągnięcia i punkty odniesienia, na przykład:

Jego wyniki dotyczące „kompletności” należy interpretować w tym samym sensie, co w twierdzeniu Gödela o kompletności [sic]: że zbiór aksjomatów może doskonale uchwycić model, który w tym przypadku jest modelem przekształceń na zestawie wyrażonych kubitów w kategoriach przekształceń stopni swobody wyrażonych w postaci baz własnych Z i X.
Sporadyczne porównania do rzeczy takich jak „ Rel ” (to znaczy: kategoria relacji, która z obliczeniowego punktu widzenia jest ściślej powiązana z niedeterministycznymi maszynami Turinga niż komputerami kwantowymi) ilustrują fakt, że znają teorię informacji kwantowej jako będąc częścią większego krajobrazu teorii obliczeniowych, gdzie rozróżnienie między tymi teoriami może prowadzić do silnej, odgórnej intuicji na temat tego, co odróżnia teorię kwantową od innych możliwych dynamicznych teorii informacji.

Zatem CQM jest bardzo dużo bardziej w tradycji podstaw fizyki i gałęzi Teoria B informatyki . Jeśli więc wydaje się, że nie opracowano wielu „aplikacji” jako takich, nie należy się dziwić, ponieważ tworzenie aplikacji nie jest jego główną motywacją. (I, oczywiście, jak dotąd tylko bardzo niewielka grupa ludzi w terenie jest naprawdę narażona na to.)

Dlaczego CQM może wydawać się nieco niejasny

$\mathbb C$

$\mathbb C$ $\mathbb C$ $\mathbb C$ ) z teorii prawdopodobieństwa. Z pewnością możliwe jest uzyskanie tej intuicji przez zwykłe podejście kompleksowo-liniowo-algebraiczne, ale zwolennicy CQM twierdzą, że zwykłe podejście raczej nie będzie najskuteczniejsze.

CQM stara się umieścić intuicyjne znaczenie na pierwszym planie w matematycznie rygorystyczny sposób. To zobowiązuje ich do mówienia o tak pozornie niejasnych rzeczach, jak „przemienne algebry Frobeniusa”. Oczywiście, taka terminologia niewiele znaczy prawie dla nikogo w tej dziedzinie - ale nie różni się to zbytnio od tego, w jaki sposób teoretycy informacji kwantowej spotykają innych informatyków.

To dopiero początek potencjalnego zamieszania dla outsidera - ponieważ osoby zajmujące się CQM są w rzeczywistości matematykami / logikami z odgórnymi motywacjami, nie ma ani jednego wątku badań w CQM i nie ma wyraźnej granicy między pracą na temat CQM i pracy w teorii wyższej kategorii. Jest to analogiczne do braku ostrej granicy złożoności obliczeniowej wyrażonej w obwodach kwantowych, złożoności komunikacji kwantowej, złożoności zapytań i klasycznej wersji tych tematów, wraz z analizą Fouriera i innymi odpowiednimi narzędziami matematycznymi. Bez jasnego układu odniesienia czasami może być nieco mylące co do tego, gdzie CQM zaczyna się i kończy, ale w zasadzie ma równie dobrze zdefiniowane pojęcie zakresu, jak każdy inny temat w teorii informacji kwantowej.

Jeśli zastanawiasz się, dlaczego ludzie mogą chcieć zbadać CQM zamiast bardziej głównego nurtu w kwantowej teorii informacji, powinniśmy najpierw przyznać, że istnieją inne kierunki badań w kwantowej teorii informacji, które nie są dokładnie ukierunkowane na znaczący wpływ na kogokolwiek innego. Jeśli jesteśmy szczęśliwi, by ludzie mogli zrobić badania w takich rzeczach, jak podejść do obliczeń kwantowych z udziałem zjawiska fizyczne, które nikt nie został jeszcze wystawiony w laboratorium [ arXiv: +1.701,05052 ] lub podejść do korekcji błędów na zamkniętym d -wymiarowej rozmaitości dla d > 2 [ arXiv: 1503.02065], powinniśmy być równie szczęśliwi, mogąc przyznać się do innych kierunków dochodzenia, które są nieco oddzielone od głównego nurtu. Uzasadnienie w każdym przypadku jest takie samo: że łuk teorii jest długi, ale zmierza w kierunku zastosowania, a rzeczy, które są badane z powodów czysto teoretycznych, mają sposób na uzyskanie praktycznych owoców.

Zastosowanie CQM

Na tej uwadze: jednym z celów zwrócenia uwagi na fundamenty jest uzyskanie wglądu niezbędnego do łatwiejszego rozwiązywania problemów. Czy CQM zapewnia ten wgląd?

Myślę, że dopiero niedawno zwolennicy CQM poważnie rozważyli pytanie, czy wgląd, jaki zapewnia, pozwala uzyskać nowe wyniki w przedmiotach, które są bardziej w głównym nurcie teorii informacji kwantowej. Dzieje się tak ponownie, ponieważ główną motywacją są fundamenty, ale ostatnio rozpoczęto prace nad tematem wypłat w szerszej dziedzinie.

Istnieją co najmniej dwa wyniki, na które mogę wskazać, które reprezentują sposoby, w jakie społeczność CQM opracowała wyniki, które moim zdaniem byłyby zasadniczo istotne z punktu widzenia interesów społeczności informacji kwantowej i w których wyniki są całkowicie nowe:

Nowe techniki konstruowania jednolitych podstaw błędów i macierzy Hadamarda (np. [ ArXiv: 1504.02715 , arXiv: 1609.07775 ]. Wydawały się one być wystarczająco interesujące dla społeczności informacji kwantowej, że wyniki te zostały przedstawione jako rozmowy odpowiednio w QIP 2016 i 2017.
Dobrze przemyślana i przejrzysta definicja wykresu kwantowego , która odzyskuje definicję grafu nieprzemiennego z [ arXiv: 1002.2514 ] w taki sposób, że wyraźny jest związek z grafami „klasycznymi”, pozwala im połączyć się z wyższą algebrą, i uzyskaj (Wniosek 5.6) wynik na asymptotycznej gęstości par wykresów, dla których istnieje przewaga kwantowa w grach pseudotelepatycznych.

Jak można się spodziewać po abstrakcyjnych technikach matematycznych z podstawowymi motywacjami, istnieją również korzyści dla obszarów informatyki, które sąsiadują z teorią informacji kwantowej:

Niektóre najnowsze techniki rozwiązywania problemów w liczeniu złożoności w odniesieniu do Holanta, które są inspirowane obliczeniami kwantowymi [ arXiv: 1702.00767 ], są bardziej szczegółowo zainspirowane szczególną linią badań nad CQM, która obejmowała rozróżnienie między stanami GHZ i W.

Wreszcie coś, co nie jest jeszcze wynikiem, ale które wydaje się obiecującym kierunkiem badań i które w zasadzie nie wymaga teorii kategorii do realizacji:

Jednym z głównych produktów CQM jest rachunek ZX, który można opisać jako notację tensorową, która jest podobna do notacji obwodu, ale która jest również wyposażona w formalny system do przekształcania wzajemnie równoważnych diagramów. Istnieje szereg badań nad wykorzystaniem tego jako praktycznego narzędzia do uproszczenia obwodów i realizacji jednolitych obwodów w poszczególnych architekturach. Jest to częściowo oparte na fakcie, że diagramy ZX są notacją, która pozwala na rozumowanie tensorów poza zwykłymi obwodami, a zatem jest zasadniczo bardziej elastyczna.

Czy wszyscy powinni natychmiast zacząć korzystać z CQM?

Prawdopodobnie nie.

Podobnie jak w przypadku wielu rzeczy, które zostały opracowane z heterodoksyjnych powodów akademickich, niekoniecznie jest to najlepsze narzędzie do każdego pytania, które można zadać. Jeśli chcesz uruchomić symulacje numeryczne, prawdopodobnie używasz C lub Python jako języka programowania zamiast SML. Jednak z tej samej uwagi, podobnie jak języki programowania opracowane poważnie przez duże firmy programistyczne, mogą z czasem zostać poinformowane o pomysłach, które zostały najpierw opracowane w takim heterodoksyjnym kontekście akademickim, tak też niektóre z pomysłów i priorytetów CQM mogą ostatecznie zostać odfiltrowane dla szerszej społeczności, co czyni z niej mniej izolowaną linię dochodzeń niż może się dziś wydawać.

Istnieją również tematy, dla których CQM nie wydaje się (jeszcze) przydatny sposób podejścia, takie jak pomiary odległości między różnymi stanami lub operacjami. Ale każde narzędzie matematyczne ma swoje granice: spodziewam się, że w najbliższym czasie nie będę używać teorii kanałów kwantowych, aby rozważyć, jak uprościć obwody jednolite.

Pojawią się problemy, dla których CQM rzuci trochę wglądu i może stanowić wygodny sposób analizy. Kilka przykładów takich tematów podano powyżej i uzasadnione jest przypuszczenie, że z czasem pojawią się kolejne obszary zastosowania. W przypadku tematów, w których przydatny jest CQM, można zdecydować, czy poświęcić czas na nauczenie się korzystania z przydatnego narzędzia; poza tym od Ciebie zależy, czy jesteś wystarczająco ciekawy. Pod tym względem jest jak każda inna potencjalna technika matematyczna w teorii informacji kwantowej.

streszczenie

Jeśli wydaje się, że nie ma jeszcze wielu nowatorskich zastosowań CQM, to dlatego, że ich nie ma - ponieważ nie jest to główna motywacja CQM, ani też wiele osób go nie studiowało.
Jego główne motywacje są zgodne z podstawami informatyki i fizyki.
Istnieją zastosowania narzędzi CQM do głównego nurtu teorii informacji kwantowej i można oczekiwać, że w miarę upływu czasu będzie ich więcej.

Niel de Beaudrap
źródło

Dziękuję bardzo za poświęcenie czasu na wyjaśnienie, dlaczego istnieje CQM. To wyjaśnia wiele rzeczy, których nie rozumiałem, próbując dostać się do CQM.

k4rtik,