Algebraiczna multigrid: Dlaczego iloczyn interpolacji i ograniczenia nie prowadzi do czegoś z normą 1?

12

Obecnie pracuję z „A Multigrid Tutorial” Briggsa i in., Rozdział 8.

Konstrukcja operatora interpolacji jest podana jako: wprowadź opis zdjęcia tutaj

Następnie konstrukcję operatora ograniczenia i operatora drobnej sieci podano jako:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Załóżmy, że mamy trzy punkty siatki x0, x1, x2 ze środkowym jeden x1 jest w porządku, a pozostałe są gruboziarniste. Środkowy jest interpolowany przez x1 = x0*w0 + x2*w2. Dlatego operatorem interpolacji jest (w Matlab):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

Operatorem ograniczenia jest wówczas:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Zobaczmy teraz, co by się stało, gdyby ograniczyć, a następnie interpolować bezpośrednio, co powoduje pomnożenie Ii transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Spodziewałbym się, że ta matryca jest jak matryca tożsamości lub przynajmniej miałaby normę 1 lub coś takiego. Ale jeśli zastosowalibyśmy x = [1, 1, 1] dla powiedzmy, że w0 = w2 = 0,5, otrzymalibyśmy [1,5 1,5 1,5]. Zakładałbym, że wielokrotnie stosowane operacje interpolacji restrykcyjnej przynajmniej by się do czegoś zbliżyły. Ale nie, w takim przypadku wszystkie komponenty wektorowe są mnożone przez 1,5 przy każdej interpolacji ograniczenia. To wydaje mi się bardzo dziwne.

Czy ktoś może wyjaśnić, co się dzieje?

Michał
źródło
1
I3×32×3

Odpowiedzi:

8

x

Jesse Chan
źródło
Rozumiem, że. Zakładałbym jednak przynajmniej, że wielokrotne stosowanie ograniczeń i interpolacji zbiegnie się z czymś. Ale nie - w powyższym przypadku wszystkie elementy wektorowe zostaną pomnożone przez 1,5 dla każdej interpolacji ograniczeń. To wydaje mi się dziwne.
Michael
Jasne - kilka krótkich odpowiedzi. (1) Wygładzanie i normalizacja nie są brane pod uwagę, które zwykle stosuje się w połączeniu z interpolacją / ograniczeniem. (2) Częścią może być wybór wag. Często odpowiadają one różnym wyborom operatorów interpolacji / ograniczeń, z których niektóre skutkują znacznie lepszym zachowaniem niż inne. (3) Istnieją inne operatory interp / ogranicz, dla których interp + ograniczenie jest odwzorowaniem. Na przykład, możesz wykonywać globalne projekcje od grubych do drobnych siatek, ale jest to kosztowne i nie warto tego rozwiązania.
Jesse Chan,
4

ITI

EEIEI(EI)(EI)=EI

Wolfgang Bangerth
źródło